做数学惯例、主题、计算、类比

第2版

Krieger Martin H

本书讨论数学家和数学物理学家的某些研究方法，以及他们所揭示和创新的题材内容。他们采用的惯例，界定的题材范围，对物理世界能够证明和计算的内容，以及他们发现和运用的模型，所有这些都依赖数学。作者采用的案例包括统计学中的中心极限定理、不同形状的鼓的声音、代数和拓扑学之间的联系，以及关于物质稳定性的系列严格证明。

把铁磁性二维伊辛模型（Ising model）的许多不同解答当作一个总体来看的话，可以看出，它们是以下不同领域中一些理论解之间的比拟，即：Richard Dedekind在1880年发表的黎曼函数理论的代数化；数论中的Robert Langlands纲领（将数论和群论之间建立新的联系）；以及在一维量子力学和二维经典统计力学之间的比拟等等。实际上，我们开始看到了“一个流形多个剖面的同一性”，这是现象学家喜欢采用的语言。

本书第2版深入讨论了一些特例，描述了数学严格性的实际作用，对于数学家怎么理解数学的哲学思维提出了建议，以及表述了一个“丑陋的”最早的证明或推导内包含的基本特性，只有经过随后的多次证明，才阐明了这些本质。自然科学家和数学家之间把物理模型和抽象对象进行交易，把它们进行改造以适应他们的需要，从而发现新的规律，譬如最近的案例有，Painlevé超越函数、TracyWidom分布，以及Toeplitz行列式等。最后，数学已经为描述日常世界，如城市的结构，或上帝无所不能提供了模型和比拟，提供了常规的语言。

本书包括6章和2个附录：1.引言；2.惯例（Convention）：均值和方差是如何按照统计学来确立的；3.题材内容（Subject）：拓扑学的领域；附录1：铁磁性的二维伊辛模型（Ising model）；4.计算：应用经典分析方法中的战略、结构和策略；5.比拟：数学中的研究程序和物理中的研究程序之间的朔望（Syzygy）；6.具体化：数学的城市；附录2.有关Ising模型、原子的基态能量、太空拓扑等4篇参考论文。

作者Martin Krieger任教于美国加州大学（伯克莱）、明尼苏达州立大学、MIT和密执安大学（Ann Arbor）。他是行为科学高级研究中心（The Center for Advanced Study in the Behavioral Sciences）和国力人文科学中心（The National Humanities Center）的资深会员。

谈庆明，研究员

（中国科学院力学研究所）

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