基于区块链思想的数学慢教育研究

朱桂凤

摘  要：把区块链思想借用到数学“慢教育”课堂，旨在落实学得会、学得好和育好人的根本任务. 区块链思想包括概念区块链、原理区块链和方法区块链，涉及见木见林、厚积薄发和触类旁通学习目标的层次性实现. 以“一元二次方程”单元教学为行动载体，展现区块链教学的路径、方法和策略，促进上好学目标的充分实现.

关键词：区块链思想;数学慢教育;一元二次方程;课例研究

区块链技术（Blockchain technology）是科技名词，是继蒸汽机、电力、信息和互联网革命后，引发第五次人类社会颠覆性变革的技术，并开始在教育教学领域产生影响. 笔者把区块链思想借用到数学慢教育课堂，旨在提高课堂育人的质量，实现学得会、学得好和育好人的根本任务. 区块链思想包括概念区块链、原理区块链和方法区块链，涉及见木见林、厚积薄发和触类旁通目标的层次性实现.

本文以苏科版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）九年级上册第一章“一元二次方程”单元教学为行动载体，展现区块链教学的路径、方法和策略，落实让学生上好学的目标. 在慢教育视域下，以“一元二次方程”概念教学为主线，引导学生站在章知识体系高度，把一元二次方程、一元二次方程解法、一元二次方程的根与系数的关系、用一元二次方程解决问题等内容整合融通，切实让学生见木见林.

一、为学得会而慢，形成概念区块链，突出见木见林目标

数学慢教育起于学得会，成于概念区块链，终于见木见林. 当然，学得会不只在于会做题，更在于让学生知道概念的来龙去脉，也就是让学生体验到从实际背景中抽象出数学问题、构造数学模型、寻求结果、解决问题的过程. 像从“正方形桌面问题”“图书馆藏书问题”“梯子靠墙问题”抽象出一元二次方程的概念，并进行变式、引申，就是学会的一种表现. 概念区块链就是新、旧知识关系得以顺应，结构性概念得以增值，扩大经验的适用范围. 像基于“一元一次方程”的经验来研究一元二次方程、一元一次不等式和一次函数等知识体系，就是概念区块链建立的常见例子. 见木见林则是章节概念、学段概念和系统概念的左右勾连、上下贯通的衍生状态. 让学生经历一元二次方程起始概念的学习，体验到一元二次方程与一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系及其内部概念关系思维丛林，就是见木见林的经典思维和长篙漫溯.

就认知需要层次来说，概念区块链是指概念和概念关系、图形和图形关系，通过一定的思维程序，建立起来的结构化知识体系或认知心理体系的序列分布. 慢能让“点动成线、线动成面、面动成体”的过程得以展示，能让学生跟得上、听得懂、学得会，慢能让学生把零散的知识转化为单元知识，把个知识转化为类知识，把经验概念转化为客观的概念关系，进而见木见林. 在数学慢教学过程中，先行组织、举一反三及同化顺应都是常见的建立概念区块链的有效手段. 类比一元一次方程的概念、算法和应用过程，来揭示一元二次方程的概念、算法和应用本质，就是概念区块链形成的思维清样. 有文章指出，概念图是由节点、连线、连接语和层级组成，它作为一张表征知识的模板能将碎小的、零散的和支离破碎的知识组织在一起，并使之成为知识结构. 这里的概念图就是概念区块链的替代概念. 一方面，能让学生直观地懂（学得会）;另一方面，能让学生直观地见木见林. 常见的章节框图、小结与思考的线路图、知识关系图等都是概念区块链的一种外在表征.

片断1：在一块长是32 m、宽是24 m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半. 你能给出设计方案吗？（设计清样如图1 ～ 4所示.）

例如，在绿地中间开辟一个矩形的花圃（如图4），使得四周的绿地等宽，绿地的面积与花圃的面积相等. 你能计算出绿地的宽吗？

解析：在图5中，设花圃四周绿地的宽度为[x]m，

则AE[=]CF[=][2x].

因为AB[=]24，CD[=]32，

根据题意，可得方程[32-2x24-2x=12×32×24].

解这个一元二次方程，得[x1=24]（不合题意，舍去），[x2=4]，

即花圃四周绿地的宽度为[4]m.

显然，这是概念的抽象过程，也揭示了一元二次方程的“长相”和算法. 其中，将上述方程变形为[x-142=100，] 是概念、图形、算法关系的外化，这就是单元概念思想.

【设计意图】旨在让学生经历方案设计过程，感受概念的来龙去脉和内在的结构关系，同时，体验概念与概念关系，圖形与图形关系，概念、算法与图形关系的勾连与贯通，进而理解方程模型服务社会、服务现实的作用. 同时，文献研究显示，学生利用概念图进行学习的平均效果量只有0.239 7，而学生制作概念图的平均效果量为0.951 9. 设计方案承担了制作概念图的作用，有助于概念区块链的建立，进而透过树木望见森林.

相关说明：《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，把每堂课教学的知识置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识之间的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析，从不同层次进行理解. 片断1的设计方案就是一种整体思维和先行组织行为，是学生建立图形关系的基础. 其中，图1、图2是基于学生的认知经验的设计，每名学生的思维都够得着;图3、图4是一种中心对称思想和举一反三行为，有助于后续特殊四边形的学习，为概念区块链的形成奠定心理基础. 由图4到图5的变形与问题解决，则是不同角度看问题的实践清样，是概念、算法与图形关系建立的有效载体，有助于概念的同化和顺应，体现了为学得会而慢的思维状态和认知信念.

二、为学得好而慢，建立原理区块链，实现厚积薄发目标

数学慢教育是一种教学气象，慢在归纳、慢在联想、慢在类比. 归纳、联想和类比是发现数学真理的有效手段. 从教材设置的“桌面问题”“藏书问题”“梯子靠墙问题”建立具体的方程关系，让学生经历观察、归纳、提炼、概括、内化，获得一般形式[ax2+bx+c=0]（a，b，c是常数，其中[a≠0]），就是最为常见的归纳方式. 可以说初中阶段学生对概念的学习都要经历这样一个归纳过程，方能形成一般化思想. 联想是一种思维活动，是把不同事物联系起来的一种思想方法. 当学生归纳出一元二次方程的一般概念时，让学生再写出几个具体的不同形式的一元二次方程（如[x2=2]，[x19-2x=24]，[51+x2=9.8]，[x2+][x-12=25]等），就有联想成分在发挥作用. 同时，联想也是一种能力，知识越丰富，联想范围越广阔，因而联想能力越强. 像用[a×a]，[a×b]，[b×b]长方形纸片拼图，揭示“因式分解”的几何意义，是测量联想能力水平的好载体. 类比就是对两个或几个相似的东西进行联想，把它们中间某个较为熟悉的性质转移到和它相似的对象上去，从而做出相应的判断或推理. 例如，类比分数性质研究分式性质、类比整式的算法研究分式的算法、类比一元一次方程研究分式方程的解法等，都是学生构建原理区块链的联想途径和思维清样.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B

从审美需要来说，慢教育起于学得好、成于原理区块链的构建，终于厚积薄发目标的实现. 学得好意味着知其然、知其所以然和何由以知其所以然. 让学生经历概念的发生过程、形成过程和使用过程，以及解释过程，就是学得好的一个表现形式. 另外，学生对习得的概念对象能举一反三、闻一知十、以一当十、变式使用与解释、审美补偿、厚积薄发等，都是学得好的表现. 换句话说，学得好不是简单的模仿操作，而是迁移应用. 当然，这种内化过程需要用慢为数学思考提供审美直觉. 原理区块链的建立至少表现在三个思维层次：（1）通过归纳，建立了概念与概念的关系;（2）通过类比，使得概念、算法与算理具有内部关系的一致性;（3）经历联想，使得概念结构定向、算理算法上下贯通，产生“会一题、通一类、连一片”的思维效用. 从初中阶段学生的认知心理特征和抽象能力较弱的背景来看，归纳、类比、联想是获得知识、学会思考的重要思维方式，是学生提高抽象和建模能力的有效手段，是学生建立审美直觉的思维前提. 厚积薄发是哲学名词，是审美迁移发生的思维就绪状态，是学生新、旧知识得以整合迁移的先行工具，是学生将知识转化为能力、将经验转化为方法、将思想转化为成长的心理基础.

片断2：用配方法解一元二次方程[x2+2x-24=0]，

配方的过程可以用拼图直观地表示.（具体拼图过程如图6 ～ 9所示.）

解析：首先，把方程[x2+2x-24=0]变为[x2+2x=24.]

即把常数项移到等号的右边.

其次，依据面积关系，可以得到[xx+2=24].

最后，配方的过程，可以看成将一个长是[x+2]、宽是[x]、面积是24的矩形割补成一个正方形.

具体来说，在面积思维的参与下，由图6，可得到方程关系[xx+2=24].

图7是一个“割”的过程，不难理解[x2+2x=24].

图8是一个“补”的过程，不难理解[x2+2x+1=][24+1]. 这就是说，对于二次项系数是1的一元二次方程，配方时要在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.

图9则是配方的完美形式[x+12=25]，在此基础上，再借助直接开平方的方法或者平方根的意义，获得方程的解，即[x1=4]，[x2=-6].

【设计意图】旨在让学生经历配方的发生过程，感知原理区块链的构建意义和形象化思维过程，强调学得好不只在于会做题，更在于体验概念发生的“合情 + 合理”过程，揭示慢教育慢在过程、慢在归纳、类比和联想. 同时，在分类思想的参与下，拼图活动直观地揭示了“为什么配方时，方程两边要加上一次项系数一半的平方”这一原理机制，这是培养学生提出问题的好载体，是学生厚积薄发的认知心理条件. 显然，这比“记概念、练概念”有效果、有境界、有视野，这就是慢教育的教学育人思维剪影.

相关说明：从教材九年级的设置来看，一元二次方程解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法. 其中，配方法是这些解法中的算法中枢，以直接开平方为基础，又为公式法和因式分解法提供原理，研究、学习的意义可想而知. 从教学目标层面来说，确立以下通用目标：（1）会用直接开平方法解形如[x+h2=k]（h，k为常数，[k≥0]）的方程;（2）理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程;（3）会用公式法解数字系数的一元二次方程，并通过公式的推导，体会转化的思想方法;（4）会用因式分解法解某些数字系数的一元二次方程，能根据具体方程特征选择方程的解法，进一步提高学生运算素养. 在这里，除了配方法确立“理解→会用”的目标，其他解法用“会用”来描述. 可见，研究配方法产生的过程及其原理的必要性. 为了更好地构建原理区块链，笔者添加“配方变式”和“任意写一个条件方程”的思维事项（如[2x2-4x+3=0]），落实理解目标. 同时，在阅读教材的前提下，让学生尝试用公式法和因式分解法解一元二次方程. 这些认知举措都是构建原理区块链的有效途径，有助于学生因联想学得好，因类比而厚积薄发，这就是慢中向快和慢中生道的价值所在.

三、為育好人而慢，构筑方法区块链，落地触类旁通目标

在自我实现目标层次，慢教育为育好人而慢，慢在思考、慢在审美、慢在迁移.

育好人意味着让学生既获得知识，又获得能力，同时获得做人的道理. 像从不同角度看问题可以培养学生换位思考的能力，这是学生走上社会必备的能力;还有平常在做题过程中，持之以恒、迎难而上、不畏挫折的克服困难的意志力，也是学生宝贵的精神财富. 方法区块链的构筑能让学生“会一题、通一类、连一片”，能让学生触类旁通、迁移创新、换位思考. 方法区块链是指在问题解决过程中理解算理、掌握算法，以及总结经验，提炼基本方法，形成思想方法体系，进而提高应用能力、创新意识和整体数学水平. 具体来说，方法区块链的构筑需要做好以下三个方面的工作：一是让学生在数学思考中获得客观的知识和准确的结论;二是让学生在问题解决中学会换位思考;三是让学生在学以致用和用以致学的过程中学会估计知识的价值. 由此可见，方法区块链的构筑不只在于触类旁通，更在于育好人、好育人，有助于知识本位转向育人为本，有助于教的触类旁通、学的旁通触类，体现了慢教育的“高观点、低起点”的教学育人境界.

当然，慢教育本身就是一种深度教学，有助于学生在数学思考中增长智慧，在问题解决中形成分析综合、评价反思等高阶思维，进而学真知、做真人. 慢课堂育好人的过程就是理解数学，理解教法、学法和算法，理解数学的历史和现状，形成积极向上的数学态度，进而在应用数学中迁移数学，并获得人格生长、品德内化的能力. 在慢教育教学法范畴，数学学习的迁移是一种学习中习得的数学活动经验对另一种学习的影响，也就是已有经验的具体化与新课题的类化过程，或新、旧经验的协调过程. 像基于一元一次方程的学习经验，研究类化一元二次方程的方法体系，就是新、旧经验整合迁移的过程. 其中，算法的转化、解法的增值都是深度认知迁移的一个表现. 这就是方法区块链建立的积极意义. 正如美国数学教育家Wilkins的观点，数学教育的目标是让每名学生都应该：（1）掌握数学内容知识;（2）具有数学推理能力;（3）承认数学的实用性和社会影响（服务社会的精神）;（4）理解数学的现状和历史发展（应用意识的增长）;（5）对数学有积极的态度（人格生长、品德升华）.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B

片断3：把一根长为80 cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形（如图10）.

（1）要使这两个正方形的面积的和等于200 cm2，应该怎样剪？

（2）这两个正方形的面积的和可能等于488 cm2吗？为什么？

解析：（1）不妨设其中一个正方形的边长为[x]cm，

根据题意，可得[x2+20-x2=200].

解得[x1=x2=10].

所以应该把绳子剪成长度相等的两段.

（2）不妨设其中一个正方形的边长为[x]cm，

根据题意，可得[x2+20-x2=488].

解得[x1=22，] [x2=-2].

因为[x1>20，] [x2<0，]

所以正方形的面积之和不可能为488 cm2.

从上述解法中，不难看出两个方程的解法渗透了根的判别式大于0和等于0的情况，但从方法体系层面则缺少了无解的情况，不利于方法區块链的有序建立.

为此，笔者切入根的判别式小于0的视角.

在题干条件不变的情况下，添加了如下问题：两个正方形的面积和可能为198 cm2吗？为什么？

解析：不妨设其中一个正方形的边长为[x]cm，

根据题意，可得[x2+20-x2=198].

经过变形，可得[x2-20x+101=0].

因为[Δ=b2-4ac=202-4×1×101][=-4<0，] 根的判别式为负数，这说明方程无解，

因此，两个正方形的面积和不可能为198 cm2.

这说明方法区块链的建立，不只在于客观知识的获得，更在于触类旁通和服务社会.

【设计意图】旨在让学生通过系列问题的解决，将解法、算理、算法与应用创新意识整合融通，提高应用数学的能力，增值解法经验，形成算法区块链，达成触类旁通的育好人目标. 其中，触类旁通不是口号，更不是一种简单的结果，而是方法区块链建立的过程性思维的产物，意味着让学生听得见思考、看得见思维、带得走课堂，进而学会估计知识的价值. 正如卢梭的观点：爱弥儿的知识不多，我不是教给他各种各样的知识，而是教他怎样在需要的时候取得知识，教给他学会估计知识的价值. 慢课堂的本质就是让学生在问题解决中学会估计知识的价值，在学会估计知识的价值中学会做事、学会做人、历练人格、锻炼品格.

相关说明：在怀特海看来，教育不是向行李箱里塞满物品的过程. 方法区块链的建立是一个整合、迁移的过程，需要触类旁通和经验调用. 一般情况下，问题解决意味着面临比较困难的问题时，需要把这个问题的新信息同现有的全部有关的知识或经验综合起来，或者是满足于使这些信息与某种已经掌握了的一般性观念建立一定的关系，并把信息转化为术语或词汇（根的判别式等），纳入认知结构（方程解法的增值与适用范围的扩大），形成方法区块链及其意义体系. 因此，慢教育慢在过程化思考、慢在重组迁移、慢在换位思考、慢在方法区块链的建立与审美选择.

当然，任何事物的发展都有局限性. 区块链思想的使用要审视数学现实、权衡教学现实、直面育人现实，方能有的放矢，方能育好人，提高慢的教学境界.

参考文献：

[1]刘荣玄，蔡金，赖清. 概念图在数学教学中对学生认知影响的实证研究[J]. 数学教育学报，2019，28（1）：83-88.

[2]曹才翰，章建跃. 数学教育心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2017.

[3]王立君. 概念图在促进认知和评估知识结构方面的理论与实证研究[D]. 上海：上海师范大学，2009.02087DB0-FE37-4151-AE14-CD50B849573B

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