新视角分析惯性系中的运动轨迹

摘 要：通过已有的知识，用普遍的方法来描述惯性系中物体的运动轨迹稍显模糊、被动，都只是分析物理问题带来的一般性结论，并没有单纯研究其轨迹。本文在于仅仅用初等数学语言来描述，揭示轨迹的纯粹数学特性。从此思想出发，对其未来的应用领域作出展望。

关键词：运动；轨迹；笛卡尔坐标系；参数方程；模拟线；主动点；从动点

在惯性系中，我们学习了多种力，牛顿定律指出力是改变物体运动状态的原因。物体的运动状态包括物体的运动的快慢与运动方向，即运动矢量。要想研究物体的运动，其受力分析是不可避免的。中学物理大致可分为宏观力与电磁力。宏观力包括重力、弹力、摩擦力、安培力。它们都是能在宏观世界中感受的到，看得见的。在这里往往有个错误的认识，大多数人认为重力是指向地心的，实际上，重力并非指向地心。这里近似将地球处理成球，以球心为原点，建立球坐标系，则有：

[ρ]点为球面上一点。一个可看作质点的物体，由于地球自转。[ρ]点需要一个向心力来维持[ρ]的运动状态，故[F向=mω2rsinφ]由于质点受万有引力[F万=GM地mr2]由于[F]向平行于平面[xOy]。所以可以将分解为[F万]与[F]向共线和[Z]轴负方向共线的力：

[FxOy=GM地msinφr2FZ=GM地mcosφr2]，

[FxOy]的一部分充当向心力，所以[F’xOy=GM地msinφr2-mω2rsinφ]，

有[F’xOy+FZ=mg]所以：

[tanα=GM地mcosφr2GM地msinφr2-mω2rsinφ]。

[tanα]为重力与垂直[Z]轴直线夹角的正切值，这个角度指出了重力方向并非一定经过重心。我们可以结合计算机得到某确定点p的重力大小及方向。这个分析过程用到了坐标表示，可以发现运用坐标系，使问题分析可能变得清晰。坐標系是一个描述运动轨迹的有力武器。

我们学过平面直角坐标系，极坐标，球坐标，坐标轴变量[x，y]可以表示质点在对应空间的位置，而质点在其中的运动轨迹自然地就可以满足f（x，y）=0关系。我们从f（x，y）=0入手数形结合。首先，以平抛运动中的一个例子来讲，某质量m物体，从台阶A点飞出。假设台阶无限向下，台阶高一米，长一米。不计空气阻力，问质点能打在第几节台阶？

我们可以这样来看，以A为原点，建立笛卡尔坐标，则有如图对A点物体分析，水平方向做匀速直线运动，则有在竖直方向则有[y=12gt2]，利用参数方程，消去参变数t，所以：

[x=h（t）y=g（t）→2v2yg=x2]。

得到了质点的轨迹方程，由题意得，每个台阶的顶点均在[y=x]直线上，故可以联立所求轨迹方程与直线方程，可直接明了得到质点会打在第几节台阶上。在生活中，台阶无处不在，是否可将台阶也用f（x，y）关系表示？我们学习了这个函数[y=[x]]，我们不妨称作台阶函数，[ ]表示取不超过[x]的最大整数。对于它的图像，台阶的陡峭可以用[x’=kxy’=ny]来进行伸缩变换，变换系数为[k]。这样更使问题富有一般性。对刚才的直线，不妨命作模拟线，在伸缩过后模拟线，模拟线为[y=nxk]，最后这类问题便可用[x2=2v2yg]，[y=n[xk+1]]，[y=nxk]来表示。

通过上述讨论，我们对平抛或者类平抛有了坐标程度的认识，且得到了[x2=2v2yg]。

根据[x2=2py]的标准形式，可以得到[p=v2g]，p为焦准距。

以上是笛卡尔坐标的优势，用位置x，y来描述轨迹。但是研究质点运动到某点的位移。运用[x2+y2]在有些时候有局限性。

针对这个问题，可以以坐标原点为极点，以x轴正方向取相同单位长度为极轴建立坐标系，则[x2=2v2yg]可变为[ρ=2v2sinθg（1-sin2θ）]。这样轨迹就以[fρ，θ=0]形式呈现。因为在直角坐标系中[y=x2g2v2]满足函数一一映射的原则，所以对质点终点M求导，可得M点的切线方向即v合的方向[y’=xgv2]。这种表示可得到某切线的方向，v合与x轴夹角的正切值。也就可以求出对应vx与vy大小方向。又如，b为抛物线一部分且是光滑轨道，若环从b由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c时速度的水平分量。

这种运动不是平抛运动。但是轨迹抛物线，所以在c点时v合的方向就是c的切线方向，所以，以b为顶点建立笛卡尔坐标，由已知条件h，s得到[y=x2hs2]所以[y’=xhs2]可求出c点的切线正切值，由动能定理[mgh=12mv2]。求出v从而解出vx。由这个特例说明了由某种轨迹曲线[≠]某种运动，即某种特定运动是某种轨迹曲线的充分不必要条件。

在上述的讨论中，主要的是宏观力在现象上的规律。而接下来会论述电磁力作用下的运动。在磁场中，带电粒子以某种特定方式运动会受相应的作用力。

如图，在垂直纸面向里的匀强磁场中，某带电粒子的轨迹是圆。

已知圆心为O。那么以O为坐标原点建立笛卡尔坐标。因为[R=mvqB]而轨迹方程可表示为[x2+y2=R2]，（x，y）表示点在平面的位置。而到圆心距离R中的B表示磁场强度。可以得到[y=mvqB2-x2（-mvqB≤x≤mvqB）]说明在满足y的范围中，y是磁场强度与水平位置决定的，这反应了场的性质。

我们有了[x2+y2=mvqB2]的关系。可以解决带电粒子在匀强磁场中的极值问题，比如放置在坐标原点O的粒子源可以向第二象限内放射出质量为m，电荷量为q的带正电粒子，带电粒子的速率均为v，方向均在纸面内，如图所示。若在某区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场（垂直纸面向外）。磁感应强度大小为B，则这些粒子都能穿过磁场区域后垂直射到垂直于x轴放置的挡板PQ上，求出挡板PQ的最小长度和磁场区域的最小面积。由这个问题，需要引入主动点与从动点的概念。

由于是任意方向，所以轨迹情况是多种多样的，由题意得[R=mvqB]是确定的。但是轨迹圆弧的圆心不是固定的。根据圆的几何定义，圆上任意一点到圆心的距离等于半径，因为粒子均由O点射出。所以可以得到轨迹圆弧圆心的方程[x2+y2=R2]，[（0

因为要求垂直射到PQ板上，所以，对任意动圆圆心M竖直方向上R长度单位的点P，可表示为：

[x0，y0x0=xy0=y+R0

PQ的最小<长度为曲线P从左往右在PQ板上的正投影l=R。

对求磁场的最小面积的问题，要明白怎样才能使面积最小，我们知道面积可以用弦、半径、弦心距表示。因为P与O共圆，弦PQ的长度可以反应面积的大小。弦PQ表示为动点P到圆心的距离有[d2=x2+y2。d2]为目标函数，有可行域为：

[x2+y-R2=R2∩{x，y/0

所以[dmin=2R]取最值时P坐标为（R，R）由关系[x0=xy0=y+R]得圆心为（R，0）则[Smin]为四分之一圆面积。

从对带电粒子的讨论中我们得到：

1.主动点f（x，y）=0；

2.从动点[x0=f（x）y0=g（y）]。

主动点是已知轨迹的点，而从动点是与主动点有关联的点。关系如上。此类方法对解决动圆问题乃至双曲线，抛物线，椭圆，摆线，渐开线均有重要作用。

又如对变力洛伦兹力，可以用复数的观点来研究，通过轨迹有[fx，y=0]的关系，我们可以推知矢量变化的表达式：

在复平面中有矢量与复数的对应关系，即对复数[z=a+bi]，可以看作复平面上的矢量运动。

点M是矢量的起点，同时也是是复平面内圆上动点：

有了变力[F洛]的表达式，我们可以施加其他场，以同样的方式得到变力的矢量表达式。

粒子轨迹研究与抛物线运动的论述影响着我们的生活。在高速路上，我们对车流可用一维坐标系阐述。在军工上，我们如果能对导弹轨迹有预测能力，我们可以在敌人导弹的下一个位点实施爆破，进而实现反导。在医学上，如果超级细菌泛滥，严重危害人类生命的时候。我认为，可以深入到納米乃至纳米以下的微粒，比如今年诺奖成就分子机器人或者更低级简单无害的粒子，包上激素类似物外壳，在内环境循环中，根据类似免疫反应机理。用运动的能量摧毁病原体。这种物理手段一旦成功，对大多数疾病的治愈将产生不可磨灭的贡献。

参考文献：

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