在比较中把握概念的本质
倪晓林
摘要：从认识一个物体的几分之一到认识一个整体的几分之一，学生能进一步认识分数的比率意义（部分与整体的关系）。认识一个整体的几分之一时，整体与部分中物体的数量会干扰學生的认知。教学这部分内容时，除了注意利用直观情境引导学生探究分数表示之外，还需要引导学生进行多维度、多层次的比较，寻找“同”与“不同”，以逐步理清有关概念的联系与区别，把握分数比率意义的本质。
关键词：《认识一个整体的几分之一》;分数概念;比较;本质
“认识一个整体的几分之一”，是苏教版小学数学三年级下册《分数的初步认识（二）》第一课时的教学内容。在此之前，学生学习了“认识一个物体或图形的几分之一和几分之几”，初步认识了分数的比率意义（部分与整体的关系）。通过这部分内容的学习，学生能进一步认识分数的比率意义，为后续认识小数以及分数的其他意义（度量、除法）打下基础。
分数的比率意义内涵比较抽象，外延比较丰富。认识一个物体的几分之一时，几分之一既能表示部分与整体的关系，也能表示部分物体的数量，整体与部分中物体的数量一般不会干扰学生的认知;而认识一个整体的几分之一时，几分之一只能表示部分与整体的关系，不能表示部分物体的数量，整体与部分中物体的数量常常会干扰学生的认知。因此，教学这部分内容时，除了注意利用直观情境引导学生探究分数表示之外，还需要引导学生进行多维度、多层次的比较，寻找“同”与“不同”，以逐步理清有关概念的联系与区别，把握分数比率意义的本质。本文呈现具体的教学设计与说明。
一、回忆旧知：一个物体的二分之一
师[出示《分数的初步认识（一）》单元例1的情境图]还记得这两个小朋友吗？关于他俩，你还记得些什么？
预设：把一个蛋糕平均分成2份，每份是这个蛋糕的12。
师又是一年春暖花开，这两个小朋友又出去郊游了。（在情境图中出示一个桃）这回他们要分享的是什么呢？
师要把这一个桃平均分给两个小朋友，怎么分？
师（课件演示分桃，结果如图1所示）在以前的学习中，我们知道，把一个桃平均分成2份，每份都是它的12。
[说明：唤醒学生对“一个物体的几（二）分之一”的记忆，为后续迁移认识一些物体（一个整体）的几分之一，以及在比较辨析中把握分数概念的本质做铺垫。]
二、探索新知：一个整体的二分之一
师一个桃很快吃完了，他们又拿来了一盘桃。（在情境图中出示一盘6个桃）如果把这一盘桃平均分给两个小朋友，每个小朋友又能分得多少呢？
预设：3个。
师（课件演示分桃，结果如图2所示）把6个桃看作一个整体，平均分成2份，表
示其中的一份，还可以用什么数？
预设：12。
[说明：将一些物体平均分与将一个物体平均分不同，学生更容易关注物体的个数，利用整数的除法得到整数结果。所以，将一些物体和分得的每一份圈起来，让学生关注整体和部分（而不是整体和部分中的物体），从而抽象出分数结果。]
三、第一次比较：一个物体的二分之一与一个整体的二分之一
师（出示图3）1个桃的12和6个桃的12有什么不同？有什么相同？
师12，可以表示一个物体的12，也可以表示一些物体的12，只要把这些物体看成一个整体。
[说明：通过比较，学生在1个桃与6个桃的不同中发现12的相同，从而打通新旧知识的关联，舍去非本质属性，把握分数（比率意义）的本质。]
四、第二次比较：多个整体的二分之一
师（课件出示3个桃、4个桃、8个桃）如果你有一盘桃，可以表示出这盘桃的12吗？请拿出课前发的桃子图片，在其中先用虚线分一分，再画阴影涂一涂。
组织交流，注意引导学生用规范的数学语言表达。
预设1：我的这盘有4个桃，平均分成2份，这2个就是这盘桃的12。
预设2：我的这盘有8个桃，平均分成2份，这4个就是这盘桃的12。
预设3：我的这盘有3个桃，平均分成2份，这1个桃加半个桃就是这盘桃的12。
师（出示图4）大家都表示出了自己这盘桃的12。仔细观察，（依次指）这盘有——3个，这盘有——4个，这盘有——8个。每盘的个数相同吗？
师每一份有——1个半、2个、4个。每一份的个数相同吗？
师桃的总个数不同，每一份的个数也不同，为什么都可以用12来表示呢？
预设1：把一盘桃平均分成2份，其中的1份就是12。
预设2：因为不管有多少个桃，都是把这盘桃平均分成2份，取其中的1份。
师不管一盘桃有几个，都是把这盘桃看作一个整体，平均分成2份，每份就是这盘桃的12。
师还能把多少个桃看作一个整体呢？
师不管有多少个桃，只要把它们看作一个整体，平均分成2份，每份就是这个整体的12。
[说明：在6个桃这个整体平均分的经验基础上，通过变化，扩大“一个整体”的外延，让学生体验3个桃、4个桃、8个桃等多个整体的平均分。然后，通过比较，再次从不同中寻找相同，以扩大（并进一步剥离）分数的非本质属性，深化认识分数（比率意义）的本质。其中，3个桃这个整体平均分的变式，可以有效避免学生的错误认识——平均分时每一份中物体的个数必须是整数，让学生充分体会到把一些物体看成一个整体平均分的优点——不需要考虑整体与部分中物体的个数，减少了麻烦。]
五、第三次比较：一个整体的几分之一
师（课件出示12个桃）这一盘桃，你除了能表示出它的12，还能表示出它的几分之一呢？让我们接着来研究。
出示研究要求：（1）用12根小棒代表12个桃子，将12根小棒平均分成若干份;（2）根据得到的结果完成学习单的填空“把12个桃看作一个整体，平均分成（）份，每份有（）个桃，是这个整体的（）（）”。组织交流。
预设1：平均分成2份，每份有6个桃，是这个整体的12。
预设2：平均分成3份，每份有4个桃，是这个整体的13。
预设3：平均分成4份，每份有3个桃，是这个整体的14。
……
师每份的桃子数一定是整数吗？还可以分成几份？每份是这个整体的几分之几？
预设1：平均分成5份，每份是这个整体的15。
预设2：平均分成24份，每份是这个整体的124。
……
师把12个桃看作一个整体平均分，大家找到了这么多不同的分数。同样是12个桃，为什么表示每一份的分数不一样呢？
预设1：平均分的份數不一样，表示每一份的分数就不一样。
预设2：把一个整体平均分成几份，每份就是它的几分之一。
师无论是一个物体还是一个整体，平均分成几份，每份就是它的几分之一。
[说明：有了将一个整体平均分成2份的经验，再次通过变化，扩大“平均分（份数）”的外延，让学生体验将一个整体平均分成3份、4份等多个份数。然后，通过比较，在相同中寻找不同，以完成从特殊分数（二分之一）到更一般分数（几分之一）的认识提升。其中，12个桃平均分成5份、24份等变式，可以有效强化学生的正确认识——平均分时每一份中物体的个数不一定是整数。此外，特意让学生说出整体与每一份中物体的个数，可以为后续比较做铺垫。]
六、第四次比较：几分之一与整体、每一份中物体的个数
师（出示图5）用分数表示图中的涂色部分。
师图5中，①和②比较，有什么相同与不同？有什么发现？
预设1：每一份中都是一个物体，但是整体中物体的个数不一样，分数表示也不一样。
预设2：在不同的整体数量下，不同的分数可以表示相同的每一份的数量。
师①和③比较，有什么相同与不同？有什么发现？
预设1：分数表示都是14，但是整体中物体的个数不一样，每一份中物体的个数也不一样。
预设2：在不同的整体数量下，相同的分数可以表示不同的每一份的数量。
师②和③比较，有什么相同与不同？有什么发现？
预设1：整体中都是8个物体，但是每一份中物体的个数不一样，分数表示也不一样。
预设2：在相同的整体数量下，不同的分数表示不同的每一份的数量（相同的分数表示相同的每一份的数量）。
师综上，你有什么发现？
预设1：分数由每一份中物体的个数和整体中物体的个数决定。
预设2：这三个量，任意两个决定第三个。
师很好！分数不只是由分与取的份数决定的，也可以由整体和每一份中物体的个数决定。同学们在今后的学习中会进一步认识这三个量的关系。而它们有关系的根源在于，平均分不只可以用分数表示，也可以用除法表示。
[说明：虽然认识一个整体的几分之一（几分之几）时，不需要关注整体及分得的每一份中物体的个数，但是学生由于思维惯性（或者说“前摄抑制”），总是会受到这两个量的干扰，导致不能准确地进行分数表示。于是，在应用分数概念进行分数表示的环节，设计对比练习，让学生理清几分之一与整体、每一份中物体的个数的关系，在帮助学生进一步把握分数（比率意义）本质的同时，为学生进一步学习分数的除法意义（分数与除法的关系）做好铺垫。]
参考文献：
[1] 王凌.从整数视角到分数视角——“分数的初步认识（二）”的学生错误与教学对策[J].教育研究与评论（课堂观察），2021（1）.
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