课题空间向量坐标法立体几何解题中应用一
课题：
空间向量坐标法在立体几何解题中的应用 （一 ）
执教人：汕头一中数学组
杨小丽
授课班级：高三（8）班 ● ● 教学目标: 掌握建立空间直角坐标系的方法；灵活运用空间向量坐标法解决立体几何中的平行与垂直的问题、求夹角和距离等空间度量问题。以期达到提高学生运用空间向量坐标法求解立体几何综合题的能力、丰富学生知识结构等能力目标。培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
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教学内容：有关空间向量坐标法在立体几何解题中的应用拟用两个课时：第一课时为运用空间向量坐标法求解立体几何中的平行与垂直关系及距离，第二课时为运用空间向量坐标法求空间角的大小及解答开放性题型的方法。
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教学重点：第一课时为恰当建立空间直角坐标系，运用空间向量坐标法求解立体几何中的平行与垂直关系及距离问题的一般解法及步骤；第二课时为运用空间向量坐标法求空间角的大小及解答开放性题型的一般解法及步骤。
● ● 教学难点：如何应用空间向量坐标法，以达到简化思维过程、降低逻辑推理难度和节省解题时间的目的。
● ● 教学过程：（第一课时）
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一. 课程引入 在前面的学习中，我们对于用空间向量坐标法解决立体几何的一些问题已经有所了解，同时我们也体会到用空间向量坐标法去解决一些空间几何问题具有一定的优越性，它可以减少一些复杂的思维和推理过程，提高解题效率。今天我们将通过几个立体几何的综合题，来分析、探索用空间向量法去解决一些空间几何问题的一般思路和步骤。
二. 例题分析 1. 利 用 空间向量 坐标 法 证明平行关系或垂直关系
例 1． （专题复习（三）. 例 16）
如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB = 2 ，AF = 1，M 是线段 EF 的中点. （Ⅰ）求证：AM ∥平面 BDE； （Ⅱ）求证：AM⊥平面 BDF； （Ⅰ）
方法一：如图，建立空间直角坐标系 C—x y z， 设 N BD AC ，连接 NE，
则点 N、E 的坐标分别是（ ) 0 ,22,22、（ 0 , 0 , 1 ）,
∴ NE = ( ) 1 ,22,22 ,
D
又点 A、M 的坐标分别是（ 0 , 2 , 2 ）、（ ) 1 ,22,22
∴ AM =（ ) 1 ,22,22
∴ NE = AM 且 NE 与 AM 不共线， ∴
NE ∥ AM. 又 ∵ NE 平面 BDE， AM 平面 BDE， ∴
AM ∥平面 BDE. 方法二：如图，建立空间直角坐标系 C—x y z，则 E（0 , 0 , 1）,
D（ 2 , 0 , 0）,
B（0, 2 , 0）,
A（ 2 , 2 , 0 ），M（ ) 1 ,22,22，
∴ AM =（ ) 1 ,22,22 ，DB
=（－ 2 , 2 , 0），ED =（ 2 ,0 ,－1）， ∴ AM = －21DB －ED ， ∴ AM 、DB 、ED 共线， ∵ A 平面 BDE， ∴
AM ∥平面 BDE. 方法三：如图，建立空间直角坐标系 C—x y z，则 E（0 , 0 , 1）,
D（ 2 , 0 , 0）,
B（0, 2 , 0）,
A（ 2 , 2 , 0 ），M（ ) 1 ,22,22，
∴ AM =（ ) 1 ,22,22 ，DB
=（－ 2 , 2 , 0），ED
=（ 2 ,0 ,－1）， 设平面 BDE 的一个法向量为 n ＝ ( x，y，z )，则 , 0, 0ED nDB n
即 , 0 2, 0z xy x 取 x＝1，得 n
＝ ( 1，1， 2 )， ∴ AM · n = 22222 = 0， ∴ AM ⊥ n ， ∵ A 平面 BDE， ∴
AM ∥平面 BDE. （Ⅱ）
方法一：
AM =（ ) 1 ,22,22 ，DB
=（－ 2 , 2 , 0）， , ) 1 , 2 , 0 (, ) 1 , 2 , 2 ( , ) 0 , 0 , 2 ( DFF D
. , 0 DF AM DF AM 所以
., ,BDF AMF BF DF DB AM平面又 同理 方法二：AM =（ ) 1 ,22,22 ， DB
=（－ 2 , 2 , 0）， , ) 1 , 2 , 0 (, ) 1 , 2 , 2 ( , ) 0 , 0 , 2 ( DFF D 设平面 BDF 的一个法向量为 n ＝ ( x，y，z )，则 , 0, 0DF nDB n
即 , 0 2, 0z yy x 取 x＝1，得 n
＝ ( 1，1，－ 2 )， ∴AM = 22 n ， ∴AM ∥ n ， ∴ AM⊥平面 BDF. 【说明】① 证明平面与平面平行，可证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行； ② 证明平面与平面垂直，可证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面。
例 2. （综合测试题七. 第 17 题）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是∠DAB = 60 o ，且边 长为 a 的菱形，侧面 PAD 是正三角形，其所在侧面垂直于底面 ABCD.
（1）若 G 是 AD 的中点，求证 BG⊥面 PAD；
（2）求证 AD⊥PB；
（3）求二面角 A—BC—P 的大小. （1）
方法一：∵ 侧面 PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点，
∴ PG⊥AD， ∵ 侧面 PAD 垂直于底面 ABCD，
∴ PG⊥面 PAD， ∵ 底面 ABCD 是∠DAB = 60 o ，且边长为 a 的菱形，
∴ ⊿ABD 是正三角形，
∴ BG⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系 G—x y z，则 G（0 , 0 , 0）,
D（0 , 2a, 0）,
B（23 a, 0, 0）,
A（0, －2a, 0 ），P（0，0, 23 a）,
∴ GB =（23 a, 0, 0），AP =（0, 2a, 23 a），
AD =（0 , a , 0）， ∴ GB ·AP = 0，
GB ·AD = 0， ∴ GB ⊥AP ，
GB ⊥AD ，即 BG⊥AP，BG⊥AD， P C B A D G z y
x
∴ BG⊥面 PAD. 方法二：∵ 侧面 PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点，
∴ PG⊥AD， ∵ 侧面 PAD 垂直于底面 ABCD，
∴ PG⊥面 PAD， ∵ 底面 ABCD 是∠DAB = 60 o ，且边长为 a 的菱形，
∴ ⊿ABD 是正三角形，
∴ BG⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系 G—x y z，则 G（0 , 0 , 0）,
B（23 a, 0, 0）, ∴ GB =（23 a, 0, 0）， 又 ∵ 平面 PAD 的一个法向量为 n ＝ ( 1，0，0 )， ∴ GB · n = 0，即GB ⊥ n ， ∴ BG⊥面 PAD. （2）
证明：∵ B（23 a, 0, 0）,
P（0，0, 23 a）,
AD =（0 , a , 0）， ∴ PB =（23 a, 0, －23 a），
∴ PB ·AD = 0，
即PB ⊥AD ， ∴ AD⊥PB. 注：涉及平行关系或垂直关系的证明的题目在我们本专题中还有：例 4 的第（1）题，例 6 的第（Ⅱ）题，例 7 的第（1）题，例 8 的第（Ⅰ）题，例 11 的第（Ⅰ）题，例 12 的第（Ⅰ）题，例 14 的第（1）题等。
2. 利 利 用 空间向量 坐标 法 求 空间 距离 向量在求空间距离方面的运用主要有求点到平面的距离、求直线到与它平行平面的距离、求两个平行平面的距离以及求异面直线的距离等。由于求直线到与它平行平面的距离可转化为求这条直线上的某一点到与它平行平面的距离，而求两个平行平面的距离也可转化为求一个平面上的某一点到另一个平面的距离，故利用空间向量坐标法求空间距离主要掌握以下两个方面：
（ （1 ）求点到平面的距离：
：
一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面 的距离。求点到平面的距离可通过求向量在平面的法向量方向上的射影的长度来得到。其依据是：
设 A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点 B，而 n 是平面α的单位法向量，则向量 BA在 n 方向上的射影的长度就是点 A 到平面α的距离 h，所以 A α B h n
nn BAn BA BA h | , cos | = | | n BA 。
（ （2 ）求 异面直线的距离：
：
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。
若向量l 与非共线向量a 、b 都垂直，则称向量l 为非共线向量a 、b 的法向量．．．。
若向量l 为非共线向量a 、b 的法向量且 |l | = 1，则称向量l 为非共线向量a 、b 的单位法向量．．．．．，记为n 。
若 A，B 分别是异面直线 a，b 上的点，向量n 为直线 a、b 上方向向量a 、b 的单位法向量，则异面直线 a，b 的距离为 |AB ·n |。
因此，求两条异面直线 a 和 b 的距离，可不必通过先找出这两条异面直线的公垂线段，再求其公垂线段的长度求得。求两条异面直线 a 和 b 的距离，还有如下两种常见的思路：
思路一：求这两条异面直线中的一条直线 ( 如a ) 上的某一点到过另一条直线 ( 如b ) 且与这条直线 ( 如a ) 平行的平面的距离； 思路二：先求直线 a、b 上方向向量a 、b 的法向量l 和向量 AB ( 点 A，B 分别在异面直线 a，b 上 )，再求向量a 、b 的单位法向量n ，最后代入式子 |AB ·n | 。
例 3． （专题复习（三）. 例 5）
如图所示，已知四边形 ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为 a 的正方形， 点 P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点，求：
（2）P 点到平面 EFB 的距离；
（3）异面直线 PM 与 FQ 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 D —x y z，则 D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0）， M（0，0，a），E（a，0，a），F（0，a，a）， 由中点坐标公式，得 ),2, 0 ,2(a aP ) 0 ,2,2(a aQ ， （2）设 n ) , , ( z y x 是平面 EFB 的单位法向量，即 | n | = 1， n ⊥平面 EFB， 所以 n EF 且 n , BE ， ) , , 0 ( , ) 0 , , ( a a EB a a EF 又
∴ ; 00, 12 2 2az ayay axz y x即 , 0, 0, 12 2 2z yy xz y x解得;33,33,33zyx ∴ n )33,33,33( ， )2, 0 ,2(a aPE
设 P 点到平面 EFB 的距离为 d ，则 PE d | n a33| ；
（3）设 on ) , , (1 1 1z y x 是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则 由 )2, 0 ,2(a aPM ， ) ,2,2( aa aFQ ，得
; 02 2, 02 211 1 11 1212121z a yaxazaxaz y x即 , 0 2, 0, 11 1 11 1212121z y xz xz y x解得 ;33,33,33111zyx ∴ on )33,33,33( ，而 ) 0 , , 0 ( a MF ， 设异面直线 PM 与 FQ 的距离为 h ，则 MF h |on | .33|33| a a
三. 本节小结：
利用空间向量坐标法解决立体几何问题，必须先建立空间直角坐标系，然后把向量通过坐标形式表示出来，而其他的则完全可以通过运用向量的有关知识使问题得到解决。因此，这种方法的关键在于能够．．选取适当的直线建立空间直角坐标系。能用这种方法解题的立体几何模型一般是具有较多垂直关系的正方体、长方体、直（正）棱柱、正棱锥或有一条侧棱垂直于底面的棱锥等。
四. 本节延伸：
分析本专题其他题目利用空间向量坐标法解决问题的可行性。
● ● 教学后记
