说“故事”,找关系,建模型
崔竞
方程与不等式是初中阶段两个重要的数学模型，“审、找、设、列、解、验、答”这七步是利用方程解决实际问题的基本步骤。其中，最关键的是找等量关系。我们只有找到等量关系，才可列出方程。
一、寻找“故事”的主角
例1 某超市有线上和线下两种销售方式。与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%。求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值。
【分析】本题叙述的主要“故事”是两年销售额的增长问题。“故事”的主角是：销售额，线下、线上两种销售额的增长率。它们之间的关系如下：
2020年销售总额=2019年销售总额×（1+增长率）;
销售总额=线上销售额+线下销售额。
设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，则“故事”的主角可以如下表示：
[时间 2019年4月份 2020年4月份 销售
总额（元） a 1.1a 线上
销售额（元） x 1.43x 线下
销售额（元） a-x 1.04（a-x） ]
解：根据题意，得1.1a=1.43x+1.04·（a-x），
解得x=[213]a，
所以[1.43x1.1a]=[0.22a1.1a]=0.2。
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2。
【小贴士】“故事”中涉及的主角较多时，我们可以利用表格帮助整理数量之间的关系。
二、说“故事”
例2 某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调。已知采购3台A型空调和2台B型空调，需要费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元。
（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元;
（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
【分析】本題叙说的主要“故事”是两种型号空调的购买问题。“故事”的主角是：A、B型空调。在问题（1）中发生的“故事”有两个：两种不同购买方案。第一种方案，3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元;第二种方案，4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元。它们存在的基本关系：单价×数量=总价。问题（2）讲述的是采购“故事”，涉及三个条件：A、B两种型号空调共30台，A型空调的台数不少于B型空调的一半，采购总费用不超过217000元。其中用“不少于”“不超过”体现数量之间的不等关系。
解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元。
根据题意，得[3x+2y=39000，4x-5y=6000，]
解得[x=9000，y=6000。]
答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元。
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30-a）台。
根据题意，得
[a≥12（30-a），9000a+6000（30-a）≤217000，]
解得10≤a≤[373]。
所以a=10、11、12，则共有三种采购方案。
方案一：采购A型空调10台，B型空调20台;
方案二：采购A型空调11台，B型空调19台;
方案三：采购A型空调12台，B型空调18台。
【小贴士】列不等式解决问题时，我们一般先借助等量关系表示相关量，再列出不等式找出解决方法，不建议联立方程和不等式。
三、找关系建模型
例3 某商店在2016年至2018年期间销售一种礼盒。2016年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2018年，这种礼盒的进价比2016年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2016年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒。
（1）2016年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【分析】本题叙说的主要“故事”是礼盒的销售问题。“故事”的主角是：礼盒。在问题（1）中发生的“故事”有两个：礼盒进价两年相差11元，两年分别花费不同价格购买数量相同的礼盒。它们存在的基本关系：进价×数量=总价。两个“故事”体现的关系分别是：2016年进价-2018年进价=11元;2016年3500元购买数量=2018年2400元购买数量。问题（2）讲述的是销售利润增长的“故事”，描述的关系是：2016年到2017年的增长率=2017年到2018年的增长率。存在的基本关系是：原销售利润×（1+增长率）=现销售利润。
解：（1）设2016年这种礼盒的进价为x元/盒，则2018年这种礼盒的进价为（x-11）元/盒。
根据题意，得[3500x][=2400x-11]，
解得x=35。
经检验，x=35是原方程的解。
答：2016年这种礼盒的进价是35元/盒。
（2）设年增长率为a。
根据题意，得
（60-35）（1+a）2=60-35+11。
解得a=0.2=20%或a=-2.2（不合题意，舍去）。
答：年增长率为20%。
【小贴士】在求解方程的过程中，我们应注意对方程解的检验：（1）符合方程解的意义;（2）符合实际。
在运用方程（不等式）解决实际问题的过程中，我们一般先通过粗略读题了解实际问题的背景，找出“故事”的主角，也就是问题涉及的基本量。再次阅读题目，我们需要找出同种基本量的关系，或者两个基本量之间的关系，也就是这里所说的“故事本身”。一般我们会利用其中一个“故事”中基本量之间的关系，把涉及的基本量都用未知数表示出来，再用另外一个“故事”中存在的关系列方程（不等式），从而建立模型解决问题。
（作者单位：南京师范大学附属中学新城初级中学）
1577501186303
猜你喜欢礼盒B型A型礼盒阅读与作文（小学高年级版）(2021年3期)2021-05-08验 血作文·初中版(2019年8期)2019-09-09礼盒阅读与作文（小学高年级版）(2017年3期)2017-04-01临床表现为心悸的预激综合征B型心电图1例中国社区医师(2016年8期)2016-12-20圣诞彩妆礼盒Coco薇(2015年1期)2015-08-13欢愉节日BOSS臻品(2014年12期)2015-01-08Ａ型血的人应选择什么样的食物恋爱婚姻家庭·养生版(2009年6期)2009-08-26《潜伏》等４８则全国新书目(2009年9期)2009-06-10如何辨别国外服装号码青年文摘·上半月(1993年8期)1993-01-01
