基于GeoGebra构建高等数学动态图形化教学资源库

摘 要：动态数学软件GeoGebra可以直观、动态、交互地演示高等数学中的知识概念，显著提高高等数学课程教学的质量和效率。本文探讨围绕高等数学的知识概念构建动态图形化辅助教学资源库，在大学数学现代化教学方面的实际意义和应用价值，并以“曲线绕坐标轴旋转形成的旋转曲面”为例加以演示。

关键词：高等数学;动态图形化教学;GeoGebra;旋转曲面

1 GeoGebra简介

GeoGebra是由美国佛罗里达州亚特兰大大学数学系教授Markus Hohenwarter开发设计的，其最大的特点就是易用性高，基于Javascript语言和坐标系统，具有比几何画板功能更丰富、可编程性更强的特点。国内有关GeoGebra的文献相对较少，其中比较早是2010年左晓明等[1]介绍了演示软件GeoGebra的功能及如何利用该软件优化整合数学教学的各环节。北京大学的唐大仕[2]教授在中国大学MOOC开设了动态几何画板Geogebra教学应用课程，2018年开课至今已第10次开课，极大地推动了Geogebra在教学中的应用。目前GeoGebra的应用主要集中在初高中的数学及物理教学当中，在高校教学中尚未得到广泛地普及推广。在高等教育教学方面，我们发现对GeoGebra研究与应用的成果较少（周洪[3]，2020;闫永芳[4]，2021），GeoGebra在大学数学类课程教学领域应用还处于不够系统和完善阶段。

2 高等数学的教与学

学数学实际上是学习一门数学语言，它是由数学定义、数学符号所构成，具有严格的推理逻辑，非常适合表达各个学科理论知识的语言。要学会这门数学语言，就需要将这些数学定义、数学符号与其具体涵义建立起联系。数学概念如果能配以具体的、动态的图形化演示将非常有趣味，让学生产生直观具象的认识，从而真正理解概念，而只有理解了数学概念，才能进一步基于逻辑推理构建数学知识体系这个大厦。这些才是真正的数学知识，对后续的专业课程学习有帮助的东西。大学数学类课程的基础课程如果不能将大部分学生的数学基础打牢固，那么就是失败的。同时，我们也注意到一些国外的优秀数学教材所具有的一些优点：论述得非常详尽，会详细阐述概念的由来和实际用途，很多内容非常适合学生自主学习;例题和课后习题也多与实际问题相结合告诉学生概念有什么用途;同时还加入了新的信息技术用数学软件实现通常的数学计算。而GeoGebra可以很好地利用其自身强大的代数、几何、3D、表格、概率统计、微积分等优势，特别是动态化的演示，能够突破传统教法中现存的问题，提高大学数学类课程教学的质量和效率。

正是认识到目前国内大学数学类课程教与学的上述种种弊端，我们教学团队将分析借鉴国内外高校数学类课程教学经验，去粗取精，以基于Geogebra的高校数学类课程动态图形化教学资源建设为突破口，致力于更新传统数学类课程的教学理念与方法，以生为本，提升教学质量。我们将围绕大学数学类课程中的知识点，致力于用强大的Geogebra软件，赋以数学定义及概念以几何直观，建立几何直观与抽象定义、概念之间的联系，设计并制作动态图形化课件，探索更加完善的GeoGebra动态图形化方法辅助大学数学类课程教学的使用策略，激发学生对数学的兴趣和探索欲，让大学生的数学学习回归数学本质。建设高等数学动态图形化教学资源库，这无疑具有重要的实际意义和应用价值。

3 基于Geogebra构建高等数学动态图形化教学资源库

目前，我们教学团队已经设计制作了近百个高等数学动态图形化辅助教学课件，包括各种函数图形、数列极限、连续、导数、黎曼积分、泰勒公式、偏导数、球坐标微元等。

下面仅举一例加以演示：“曲线绕坐标轴旋转形成的旋转曲面”。

旋转曲面[5]是高等数学中一个重要的知识点，涉及立体图形、动态旋转过程，普通教学设计往往是静态图形：在平面上从某个角度看到的三维效果，很难体现真正的几何直观，学生想象不出具体图形和旋转过程，就很难深入地理解和掌握该知识点。而Geogebra恰恰擅长于此，动动鼠标就可以交互式地从不同角度、放大或缩小地观看立体图形，拉动滑动条观察旋转曲面动态生成的旋转过程。

定义1[5]一条平面曲线Γ绕其平面上一条定直线l旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面。该定直线称为l旋转轴，曲线Γ称为母线。

定义2[5]母线上任一点绕旋转轴旋转一周的轨迹，称为纬圆;以旋转轴l为边界的半平面于旋转曲面的交线，称为经线。

曲线绕坐标轴旋转一周形成的旋转曲面。不妨考虑yOz面上的曲线C：f（y，z）=0繞z轴旋转一周形成的旋转曲面。

图1是《高等数学》同济七版旋转曲面的配图，该图只是从正面视角看到的最终的旋转曲面，无法看到旋转曲面生成的旋转过程（点和曲面的旋转轨迹），只能靠文字叙述让学生自行想象;另外，在平面上只从一个视角凭感觉（不是基于严格坐标系统）展示立体图形，立体感也有所欠缺。

下面用Geogebra开发旋转曲面的动态图形化课件，可以弥补上述所有缺陷，极大地提升教学效果。Geogebra是基于坐标系统，通过指令可以方便地绘制严格精确的二维/三维图形，再辅以滑动条、鼠标操作等，可以动态地、多视角地展示图形。主要制作步骤如下：

（1）首先要选择一条适合演示本问题的已知表达式的曲线，这里选择一条yOz面上的半支双曲线，用空间参数方程表示为：

参数a，b决定双曲线的形状，适合定义成Geogebra中的滑动条，滑动它们就能改变双曲线的形状。

要绘制该双曲线，需要用参数形式的（空间）「曲线」指令，其基本语法为：

曲线（x（t），y（t），z（t），参变量t，t起始值，t终止值）。

其中，x（t），y（t），z（t）分别为曲线的参数方程分量。

在曲线上任取一点，适合用描点指令，基本语法：描点（几何对象）。这样绘制的点，用鼠标拖动可以在几何对象上随意移动。打开Geogebra 3D绘图区，依次在输入框输入如下指令并回车：

（2）绘制点M0绕z轴旋转一周的轨迹。为了展示动态旋转过程，增加滑动条θ，滑动控制旋转到角度θ。

Geogebra绘图按极坐标更容易实现，点M0逆时针旋转到达点M，易知旋转半径为y0，又旋转角度为-θ，故M点的极坐标写法为：

其中，y（M0），z（M0）表示点M0的y值和z值。Geogebra有同名的函数：x（P），y（P），z（P）可以分别提取点P的x坐标、y坐标、z坐标。

绘制从点M0到点M的轨迹，这是一段圆弧。继续用Geogebra（空间）「曲线」指令来绘制。这里实际上就是让点M0绕旋转中心逆时针旋转t度，让t作为参变量从0变化到θ。为了增加视觉效果，将旋转中心（0，0，z0）点绘制出来，并连线位于边界的两条半径。

依次在输入框输入如下指令并回车：

（3）绘制旋转曲面的轨迹。整条曲线C绕z轴旋转一周形成的曲面。同样为了展示动态旋转过程，使用前面的滑动条θ，滑动控制旋转到角度θ。共用一个θ的好处是，拖动滑动条θ时，曲线C旋转的曲面轨迹与点M0旋转的圆周轨迹会一起跟着变化。

Geogebra用「曲面」指令绘制空间曲面，共有三种语法，这里适合选用：曲面（曲线，旋转的角度，旋转轴）。本例就是将曲线C绕z轴旋转角度θ，于是，在输入框输入指令并回车：

曲面（C，θ，z轴）

这就完成了“曲线绕坐标轴旋转形成的旋转曲面”整个动态图形化课件的制作，结果如图2所示：

若用鼠标缓慢拖到滑动条θ从0°到360°变化，则点M0的旋转轨迹（蓝色虚线及红色M点）以及曲线C的旋转轨迹（红色曲面），都将跟着动态地呈现;若用滑动M0点，则蓝色虚线及红色M点将在曲面上滑动，真正体现任意一点的旋转轨迹与整条曲线的旋转轨迹的关联性。同样地，若想切换不同视角观看当前图形，按住并移动鼠标就可以实现。

另外，位于Geogebra窗口左侧的代数区，自动列出了所有几何对象的指令代码，它们是与几何对象相关联的，鼠标点击相应的蓝点，可以切换是否在图形中显示该几何对象。这非常便于突出演示部分概念和相应几何对象。

本课件是以半支双曲线作为旋转曲面的母线，该曲线可以换成其他曲线方程，其他都无需改动，就能动态化演示各种不同的旋转曲面。比如将母线换成半圆则旋转出球面，换成半椭圆则旋转出椭球面，换成异面直线则也旋转出单叶双曲面……这些我们均已实现。

上述设计制作的“曲线绕坐标轴旋转形成的旋转曲面”动态图形化课件，保存为.ggb文件，大小只有28k.在课堂上，只要电脑里装有Geogebra软件，就可以打开并现场动态化地给学生演示。借助GGBPlayer插件甚至可以将.ggb文件嵌入PPT中，在PPT全屏放映状态下用鼠标动态操作，而且不需要电脑里安装有Geogebra软件。具体嵌入使用方法，可参阅“GGBPlayer功能特点”。

4 结论与展望

通过基于GeoGebra的高等数学动态图形化辅助教学课件的设计，并将其应用到实际的大学教学中来，在线下课堂、线上教学都受到了学生的广泛好评。利用GeoGebra进行辅助教学相比于传统的教学方式，GeoGebra环境下的教学更清晰，可视化效果更好，将GeoGebra软件应用于教学中，不仅能使概念的形成过程清晰可视化，让学生更好地接受吸收，也使得学生在课堂上不再只是单纯地倾听者，而是参与到对未知知识的探索之中，从而使得学生更加积极主动地参与对概率统计的学习中去，进而培养学生的探索求知精神以及创新思维，同时也增加了课堂的活跃性与趣味性，有助于提高教学效果。因此将GeoGebra使用到数学教学上，是非常具有实用价值的，能够为高等数学课堂带来更好的教学效果。

我们教学团队基于GeoGebra的高等数学课程动态图形化教学资源建设为突破口，致力于更新传统数学类课程的教学理念与方法，注重知识概念的动态交互图形演示，能够大大提高学生的学习效果和教师的教学效果。因此，应当大力提倡应用现代教育技术促进教学改革，注重信息技术在课堂教学中的应用，并在课堂教学中注意利用其展现教学内容，以增大课堂教学信息量，激发学生兴趣。

参考文献：

[1]左晓明，田艳丽，贠超.基于GeoGebra的数学教學全过程优化研究[J].数学教育学报，2010，19（01）：99-102.

[2]唐大仕.动态几何画板Geogebra教学应用.中国大学MOOC.

[3]周洪.运用GeoGebra着力提升高等数学的教学质量[J].四川职业技术学院学报，2020，30（05）：116-122.

[4]闫永芳.GeoGebra软件在数学分析教学中的应用举例[J].北京印刷学院学报，2021，29（04）：131-134.

[5]同济大学数学系.高等数学（第七版 下册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[6]GB123.GGBPlayer功能特点，https：//www.ggb123.cn/ggbplayer2/.

基金项目：本文是黑龙江省高等教育教学改革一般研究项目“基于Geogebra的高校数学类课程动态图形教学资源建设与研究”（SJGY20200353）资助阶段性成果

作者简介：张敬信（1982— ），男，河北保定人，基础数学博士，基础科学学院副教授，哈尔滨商业大学，研究方向：大学数学教学、数学模型、数据挖掘等。

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