例谈近几年高考中与有关导函数零点的应用分析

杨冬梅

摘 要：近年来，随着我国社会经济与现代化科学技术的持续发展，各个领域都取得了重大的成就，教育领域的优化改革已经成为一种必然趋势。在教育过程之中，高考已然成为改变学生命运的重要转折点之一，其中的数学学科更是关键所在。而导函数作为高中数学的重要知识点，其具有多种解题算法，导函数在求导过程中，存在超越方程、高次幂方程等，将增加解题难度，为此应通过不同的解题方法对函数求导存在的问题进行全面解析，以此来得出正确的求导结果文章针对导函数零点问题进行探讨，并对整体代换、反带消参等解题思路进行研究。

关键词：导函数;隐雾点;解题思路

引言

函数零点是新课标中新增的重要概念，在函数的方程、图像、单调性、最值和不等式证明中有特殊作用，又与函数和不等式有密切相关，所以在近几年高考命题中备受青睐，尤其是导数的综合应用问题，导函数零点是导函数方程的根，又是单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点或最值点。因此，正确掌握零点的用法往往是研究函数与导数的综合问题的关键，笔者总结了近年来的高考，在此浅谈零点问题的处理方法。

一、与零点个数有关的问题

导数零点个数的问题一方面是考查学生对于函数求导法则的掌握程度，一方面是考查学生对导数零点意义的理解程度。在定义域内或者某个区间内，根据定义，一般对函数f（x）求导得到导数f"（x），令f"（x）=0即可判断是否有零点，因此导数有唯一零点或多个零点是困扰学生的主要问题。不妨将其细分为两部分，一是唯一零点相关问题和多个零点相关问题。以下分别通过两例高考实例分析讲解。

问题1（2019年高考文科数学全国I卷第20题）

剖析此题，从知识点出发，出题人主要考查了函数的定义域、求导的链式法则、二次求导、函数的单调性以及三角函数的周期性，易错点在于求导的链式法则以及函数的分类点。求导法则需要学生多加练习。理清思路后开始做题，需证明f"（x）在区间（0，π）存在唯一零点，f"（是一个复合函数，包含周期函数和线性函数，显然在完整区间内不是单调函数，则需要考虑分类讨论，要根據不同函数特点，如本题中三角函数的周期性，通过函数的特点去把握区间端点。三角函数中值得注意的点一般为0、π/2，π，题目要求在区间（0，π）中，则可以将π/2作为断点分类进行讨论。

二、利用零点性质解含参问题

导数零点问题相对简单，但是其中含有参数时，学生往往会出现思维混乱，未知数与参数缠绕不清，不知如何处理的情况。以下通过一个高考数学实例进行分析讲解。

结语

回顾两类问题，不难发现出题人考察的内容大致相同，题目运算量不大，分类讨论情况较多。可见，万变不离其宗，学生熟练掌握这些基础点，并能灵活运用，解题就能变得很轻松。

参考文献：

[1]徐正印.高考中分段函数与零点交汇问题的解题策略[J].中学数学研究，2018（8）：15.

[2]胡宗玲.根据参数确定函数零点[J].中学生数理化（学习研究），2018（9）.

[3]卢杰.函数零点问题常见的几种求解方法[J].中学教学参考，2013（6）：35.

[4]中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准试验教科书[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]何方顺.例谈函数零点问题[J].基础教育论坛，2012（4）：34.

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