定积分在解析变力做功问题中的应用

【摘 要】从物理学角度来看，变力做功问题在解答过程中较为复杂。为了进一步提升解题效率，本文从定积分的角度出发，结合物理学做功问题的实际解答需求进行综合分析，阐述了定积分的基础概念以及几何背景，从微元法的角度解答变力做功问题。意在进一步提升解答物理实际问题的可操作性，同时为定积分在解答物理抽象问题中的应用提供参考

依据。

【关键词】定积分;物理学;变力做功问题

【中图分类号】G712  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）28-0007-02

在物理教学中为学生提供基础的解题理论，能够在提高解题准确性的同时，为学生解答复杂问题奠定基础。在物理学的教学过程中，解答变力做功问题一直都是教学重点，同时也是学生在解题过程中存在较多问题的部分，而定积分理论是建立在高等数学基础上的基础性解题理论，能够有效反映几何意义，将其应用于解答物理学中的复杂问题，能够取得较好的效果。因此，分析定积分的基础概念以及几何背景，探究其在物理学中的实际应用，不仅是本文论述的重点，也是进一步提升物理教学质量的关键。

1   定积分理论的基础概念及几何背景

从基础概念角度来看，定积分是积分的一种表达形式，是函数 f（x）在区间[a，d]上积分和的极限，定积分往往是由一个具体数值表现出来的。定积分最先出现在高等数学教材中，是通过分析曲边梯形面积的求解以及变速直线运动路程等案例之后整合出来的学习理论，构建了定积分的基础知识背景[1]。

教学研究表明，定积分在物理学中也有一定的应用，如物理学中的变力做功以及转动惯性等问题都可以利用合适极限进行求解。这也就是定积分体系中的微元法，是建立在分割、取近似值、求和以及取极限的基础上的。

2   定积分在物理变力做功问题中的实际应用

从物理学的角度来讲，变力做功问题有不同的类型。因此在解答的过程中，笔者选取了不同的例题进行针对性分析，结合每一种做功的实际情况，利用定积分的微元法进行解答。

2.1  微元法在摩擦力做功问题中的应用

例1：一个物体在光滑的水平面上沿着OX轴的正前方行进，水平面的摩擦系数不相同，因此，水平面在物体行进过程中产生的摩擦力是变力，已知水平面中某一段的摩擦力数值大小会跟随坐标x的变化而变化，其规律为 f=1+x（x>0），那么当x=0至x=4米这一段路程中，摩擦力做功的大小是多少？

在利用微元法进行解答时，首先根据给出的问题，已知摩擦力本身是一个变力，会随着x的变化而变化，那么就不能代入原有的直线运动做功公式。原有的做功公式中F本身是恒力，它的方向以及大小是不变的，在该问题中摩擦力的实际数值为变力 f=1+x，物体正沿着OX轴的正前方运动，那么设定其位移元为dx→0，那么摩擦力是与该方向相反的，因此是负值。力和位移方向之间的夹角设置为α=π，cosα=cosπ=?1，因此可以在物体运动正方向的区间内任意选取一个区间，在这个区间内，其运动的力可以充当为恒力做功，那么摩擦力所做的元功表达方式为dA= fcosαdx=?（1+x）dx，因此物体在0至4米这段路程运动中，其摩擦力做功为：

由于该物体在运动过程中受到摩擦力影响，所做的功为负，那么最终的答案为12 J。

2.2  微元法在弹力做功问题中的应用

例2：拉伸一个弹簧，在这个过程中需要用到的力和弹簧的伸长数值呈正比关系，可以利用F=kx进行表达，这其中的k为比例系数。现在已知弹簧被拉长的数值为

20 厘米，那么需要用的力为1 N，若想让弹簧的长度伸长至60 厘米，那么所要用的外力做功数值为多少？

首先根据给出的问题进行分析，由于弹簧在拉长期间，弹力会随着伸长量变化，同时与x是正比关系，那么可以将其代入公式F（x）=kx，可以得出 f（x）为5x。从逻辑分析角度来看，由于弹性力是存在连续变化的函数，那么从物理学角度来讲，这是一种变力，可以利用定积分的定义法进行判断。在一个微小区间中， f 可以作为常量处理，并且沿着弹簧拉伸的方向，将其设置为x轴的正方向，可以將x作为积分变量，则x所在的区间为[0，0.6]。

然后在这个区间中，分化成n个不同的小区间，并且在每一个小区间中任意选择一点，能够得出F（x）= f（ξi），分析每一个小区间中移动的力所做的功，并且将其视为恒力作用在直线上的功，此时若将每一个区间上的点定义为ξi，那么代入公式之后可以得出近似值。然后再通过和式极限值，利用定积分进行求解：

2.3  微元法在电场力做功问题中的应用

从物理学角度来看，电场力做功问题是学生在中学阶段学习到的变力做功问题。从客观条件来看，匀强电场内带电粒子或者物体正处于移动状态时，它们产生的恒定电场力对该物体或者粒子所做的功，往往可以直接套用电场力做功公式来求解。但是在当前高等物理学电学领域中，电场力做功问题面临的条件较为复杂，无法套用原始的电功公式求解，因此可以建立在其运动规律以及客观条件的基础上，利用定积分的微元法求解[2]。

例3：在r轴的坐标原点O上，有一点电荷，其场源电荷带电量为+q，它自身产生了一个电场，现一电量值为+q0

的检验电荷在这个电场中沿着r轴的正方向，从a点移动到b点，那么电力场对它所做的功为多少？

针对这样的问题，首先可以得出检验电荷在从a点向b点移动期间，受到的电力场为变力，同时由于该检验电荷是在r轴沿着正方向进行移动的，因此r可以定位为积分变量，在这个变量中，对变化区间进行分割之后选取任意一个小区间，并且根据其实际的数值变化情况建立坐标系。

可以在每一个小坐标区间内，将电力场对该移动电荷所做的功看作是一个恒力，并且将其定义为dA，然后将其代入公式：

其中k为静电力常数，ε0为真空介电常数。

接下来将得出的dA值叠加起来，利用定积分计算求解，代入公式：

2.4  微元法在气体膨胀或压缩功问题中的应用

在一个密闭的容器中，气体在压缩或者膨胀状态下，随着气体压强的改变，作用在活塞上的压力也会变化，为了确保活塞能够始终维持平衡状态，需要外加力推动活塞，对气体做功，这便是气体膨胀或者压缩状态下做功的相关问题。在该种条件下，不能套用原有的压力做功公式，可以根据定积分微元法，将这种变力做功的条件转化成为恒力做功条件，可以在选定区间内将其分割为不同的小区间，然后通过小区间内恒力做功求解、叠加求和的方式，利用定积分进行解答。

例4：在一个面积为s的圆柱形容器中，存有一定量的气体，通过等温膨胀之后，容器瓶口底面积为S的活塞从a点被推到了b点，求在这个过程中气体压力所做的功。

首先，根据给出的条件可知，在气体膨胀期间压强的变化是变力，但是底面积是恒定的，利用压强公式能够得出气体作用在活塞上的压力会随着压强的变化而变化，同时气体膨胀区间划分成为n个小区间之后，会沿着活塞推动的方向做功，由此可将活塞运动的方向设置为x轴正方向，这其中的x为变量，在整体运动区间中选取任意一个小区间，在该区间内气体的变化压强可以看作是恒力，接下来建立在容器内部气体当前所处的物质量（μ）、温度（T）、普适气体常量（R）的基础上进行综合分析。将所选定小区间中所对应的微元dx代入公式：

然后利用定积分对活塞从a向b运动过程中产生的所有气体压力A进行求解，将上述微元的数值叠加起来，便能够得出总功：

综上所述，定积分微元法在物理变力做功问题中具有一定的应用价值，可以通过区间分割、近似值定位、求和以及极限值定位的方式，简化物理变力做功问题的解答流程，能够进一步增强学生对变力做功问题的掌握程度。与此同时，教学研究和实践表明，微元法也可以应用在物理的力学以及电磁学等领域，能够全面提高高等物理学的教学质量，同时可以推进物理学和数学的融合，对于提升学生的综合解题能力和知识体系掌控能力有一定的促进作用。

【参考文献】

[1]陈晓辉，李阔.定积分在几何、物理学中的简单应用[J].数学大世界（上旬），2018（1）.

[2]梁金荣，王善勤.定积分在解析变力做功问题的应用研究[J].山東农业工程学院学报，2018（12）.

【作者简介】

刘莉（1985～），女，汉族，河北涞源人，硕士，讲师。研究方向：高职数学。

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