走向结构：低年级学生数学基本活动经验的积累
曹磊
[摘 要] 积累数学结构性基本活动经验，更有助于学生的经验提取、经验激活、经验应用，等等。结构性知识是结构性活动经验的根基，迁移性方法是结构性活动经验的核心，学习性策略是结构性活动经验的关键。通过结构性的活动经验积累，能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。让学生的基本活动经验走向结构，应当是小学低年级数学教学的至真追求。
[关键词] 小学数学;基本活动经验;经验积累
小学数学教学，从某种意义上说就是要促使学生形成整体性、结构性、系统性的基本活动经验。当下，许多教师的课堂教学尤其是低年级的课堂教学，尽管注重基本活动经验积累，但却是零散、琐碎的，没有结构性、系统性。积累数学结构性基本活动经验，更有助于学生的经验提取、经验激活、经验应用，等等。让学生的基本活动经验走向结构，应当是小学低年级数学教学的至真追求。
一、结构性知识：积累结构性活动经验的根基
数学知识具有整体性、结构性特质。在小学数学教学中，教师要有意识地引导学生建构整体性、系统性、结构性知识。一般来说，低年级数学知识具有生长性，往往具有“种子”的特质。作为教师，要瞻前顾后、左顾右盼，从整体上把握知识结构。尤其是，教师要着眼于学生的可持续性发展，对相关的内容进行铺垫。
从低年级开始，教师就应当运用美国著名教育家布鲁纳的“学科结构论”指引自己，立足于“高观点”“大视角”来考量教学内容。引导学生掌握结构性知识，关键是要引导学生深刻领悟数学基本概念，把握概念的内涵与外延;引导学生把握概念之间的关联，尤其是概念与概念之间的链接点、融合点等;引导学生明晰上位概念、下位概念等，助推学生建立概念体系，等等。比如教学苏教版二年级下册《有余数的除法》这部分内容，笔者不仅要引导学生深刻理解、掌握“余数”的概念，更要引导学生掌握“余数和除数的关系”。换言之，不仅要引导学生形成对概念的本质性认知，更要引导学生对概念形成关系性认知。教学中，笔者创设了两个活动：一是让学生用小棒摆三角形、四边形、五边形等。通过小棒总数不变，摆的图形的变化，让学生直观地发现摆出的图形的个数以及所剩下的小棒的根数的动态变化，从而帮助学生建立商和余数的概念，并初步认识到商、余数与除数的大小有关。二是让学生用小棒摆三角形等，通过小棒总数的变化，让学生直观地发现摆出的图形的个数以及所剩下的小棒的根数的动态变化，从而帮助其巩固商和余数的概念，并初步认识到商、余数与被除数的大小的关联性。这相当于两个对比实验，这样的对比实验充分调动了学生数学学习的积极性，发掘了学生数学学习的创造性。
结构性的知识教学，不仅着眼于数学概念的本质内涵，更着眼于数学概念之间的关系。在上述“有余数的除法”教学中，笔者不仅注重引导学生经历“除数”“余数”的诞生过程，感受、体验“除数”“余数”的本质内涵，更引导学生认识“余数与除数的关系”。这样的教学，能帮助学生积累结构性的数学活动经验，使得学生潜移默化地感悟到概念学习的方法，即不仅把握概念的本质内涵，更把握概念的关系内涵。
二、迁移性方法：积累结构性活动经验的核心
小学数学教学，要帮助学生积累结构性活动经验。其中，结构性知识的建构是根基，而迁移性方法的建构则是核心。迁移性方法，从某种意义上说，是学生可以“带得走的知识”。迁移性方法是链接数学知识与数学思想的桥梁，是学生的数学探索的确证与表征。只有通过迁移性方法的教学，数学活动经验的积累才是有效的。迁移性方法不是简单模仿，更不是依样画葫芦、滥竽充数等。
比如苏教版一年级上册的《20以内的进位加法》这部分内容，其教学重点一是要突出算法的多样化，二是要突出算法的优化。因此，这部分内容不仅是后续口算的基础，也是后续学习“20以内退位减法”的基础。其中，最为重要的是要让学生掌握“凑十法”，“凑十法”不仅有助于学生掌握20以内的进位加法，它更是后续简便运算“凑整法”的基础。如笔者在教学《9加几》的过程中，从学生已有知识经验出发，让学生借助具有齐性特质的学具——小棒，自主建构算法。学生通过自主思考、探究，形成了“数数法”“凑十法”等算法。在深度比较、研究“凑十法”的过程中，学生不仅认识到“凑十”的方便、快捷，更通过观察、比较、操作等，形成了“凑十法”的一般化操作思路。因此，聚焦于“凑十法”，就能让学生感悟其本质内涵、操作方式。只有当学生掌握了“凑十法”，积累了相关的“凑十法”的方法经验之后，学生在后续学习“20以内的退位减法”时，才能积极主动地迁移，从而建构出“破十法”的操作模型;只有当学生掌握了“凑十法”，积累了相关的“凑十法”的方法经验之后，学生在后续学习“简便运算”时，才能在加法交换律、结合律和分配律的运用中自觉地想到“凑整法”。显然，“凑十法”之于学生的数学学习具有普遍性的功能和意义。
为了让学生掌握迁移性方法，教师要引导学生感悟数学思想，用思想驾驭方法，从而让学生能整体性、结构性地掌握数学知识。正如日本著名数学教育家米山国藏所认为，“在学校所学的数学知识，进入社会后不到一两年就忘记了……，唯独思想方法却深深地铭刻在心里，并且时时刻刻发挥作用”。迁移性方法，就是学生基本数学活动经验的核心组成，能对学生数学可持续性发展发挥重要作用。
三、学习性策略：积累结构性活动经验的关键
积累学生结构性基本活动经验，不仅需要让学生掌握结构性知识，从而便于学生提取经验、激活经验;还需要学生掌握迁移性方法，从而便于学生的数学问题解决;而且更需要学习性策略。学习性策略，是积累学生结构性活动经验的关键。正所谓“授人以鱼不如授人以渔”，通过学习性策略，学生能够积极地、主动地应用已有知识经验。
学习性策略，不仅包括一般性的学习性策略，还包括特殊性、具体性的学习性策略。比如小学数学教材中的内容可以分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大板块。这四大板块的内容的学习策略就是不同的。因此，从低年级开始，教师就必须引导学生掌握相应板块的学习策略。比如在学习《图形与几何》中的《角的初步认识》（苏教版二年级下册）时，笔者引导学生从“要素”入手，即从角的“顶点”和“边”入手。这种“要素分析法”如果能种植在低年级学生的心中，对学生今后图形的认识具有十分重要的意义。比如在长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形等线段图形的认识中，学生就会主动地从边、角两个要素展开分析;在学习圆时，尽管没有边和角，但学生也会提取一些要素，比如从直径、半径、圆心等角度进行认知。因此，从某种意义上说，研究数学知识的策略比数学知识本身更为重要。在《角的初步认识》这一部分内容的教学中，笔者从角的研究要素入手，首先让学生研究角的外显特征，对角进行静态描述，即“从一点引出两条射线”;接着对角进行动态刻画，即“一条射线绕端点旋转”。通过动态性的描述，能为学生后续比较“角的大小”奠定坚实的基础。在小学数学教学中，教师要不断丰富学生的学习体验，积累学生的学习经验。这样的研究策略，同样有助于学生今后的数学学习，即研究数学概念，不仅要从静態的视角进行研究，而且要从动态的视角进行研究。只有将静态描述与动态描述结合起来，才能掌握数学知识的本质特征。
史宁中教授等人认为，数学基本活动经验包括“实践的经验”和“思维的经验”，并强调日常数学学习主要应该获得“思维的经验”。思维的经验，在笔者看来就是以知识经验为根基、以方法经验为核心、以策略经验为关键的经验。思维经验就是结构性的经验，对提升学生的数学学习力，发展学生的核心素养发挥着支撑性的作用。只有让经验充满结构性，才能让经验成为活的、灵动的经验。培育、积累学生的结构性经验，是小学低年级数学教学的应有之义和应然之举！
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