以几何直观内化运算规律
陈雅 华丽芳
摘要：教学《乘法分配律》一课，利用几何直观，带领学生不断辨析乘法分配律的本质意义，抽丝剥茧，理解并内化运算规律。教学中，有匹配问题情境的直观呈现，让学生在“形”中提升对“数”的认识;有凸显数学本质的动态呈现，让学生对“合着算”和“分开算”算式的结构特征与内在联系印刻入心;有发展模型意识的抽象呈现，让学生经历富有层次的表征过程后，顺理成章地用语言、文字和符号归纳总结乘法分配律。
关键词：几何直观;乘法分配律;问题情境;数学本质;模型意识
“乘法分配律”是苏教版小学数学四年级下册的内容，教学目标为：（1）在解决实际问题的过程中通过观察、类比、猜想、举例、验证、归纳等数学活动发现、概括、理解乘法分配律;（2）在具身体验中感悟探索规律的一般过程，培养模型思想，發展抽象思维，积累建模经验;（3）感悟数形结合的数学思想，体验乘法分配律的价值，提高学习数学的兴趣，体验学习数学的成就感。其中，教学重点是乘法分配律和数形结合思想，教学难点是探索规律的一般过程。《乘法分配律》一课教学，可以利用几何直观，引导学生主动参与，不断辨析乘法分配律的本质意义，抽丝剥茧，理解并内化运算规律。具体教学过程与评析如下：
一、教学过程
（一）在解决实际问题中初步感知规律
1.购买运动服问题。
师今天我们来学习乘法分配律。（出示下页图1）我们先来解决一个问题：学校有10名同学参加趣味运动会，需要订购统一的运动服，一共多少元？你从中知道了哪些信息？
生一件上衣60元，一条裤子40元，买10套，求一共多少元。
师请同学们在本子上列出综合算式并计算。
（学生计算。）
生（60+40）×10=1000（元）。我是先算出一套运动服多少元，再乘10套。
师（出示图2）我们可以把一个三角形看作一件上衣，一个正方形看成一条裤子。他是先把一件上衣和一条裤子合着算的。
生60×10+40×10=1000（元）。我是先分别求出10件上衣的价格和10条裤子的价格，再相加。
师（出示图3）也就是先分开算，再加起来。
师仔细观察这两个算式，其解题思路不同，运算顺序也不同，但我们发现，结果却是——一样的。[板书：（60+40）×10=60×10+40×10]我们可以画上等号，把它们连接起来。
2.啦啦队人数问题。
师再来看第二个问题。（出示图4）啦啦队分成了红、蓝两队，从图中你知道了哪些信息？
生红队一行有4人，蓝队一行有5人，都各有3行。
师（出示图5）用这样的点子图表示，理解吗？一共有多少个队员，可以怎么列式？
生（4+5）×3。
生4×3+5×3。
师这两个算式分别在算什么？
生第一个算式是先算一行有多少个队员，再乘3行。
生第二个算式是把红队的人数和蓝队的人数分开算。
师（出示图6）这两个算式相等吗？为什么？
生相等。我算出结果都是27。
生（4+5）×3可以看成9个3;4×3+5×3表示4个3与5个3的和，也是9个3。
师[板书：（4+5）×3=4×3+5×3]计算也好，乘法的意义也好，都能够说明这两个算式是相等的。（出示图7）如果再增加三行，现在可以列成哪两个算式，它们相等吗？
生相等。都解决同一个问题，也都表示9个6。
[教师板书：（4+5）×6=4×6+5×6。]
3.发现规律特征。
师（指板书）我们得到了这样3个等式。请同学们仔细观察，比一比，你有什么发现？
生每组两个算式计算结果都相同。
生每组两个算式中的三个数都相同。
生每组算式都是乘了一个相同的数。
生左边都是先算两个数的和再相乘，右边都是两个数分别与一个数相乘再相加。
生左边都是合着算的，右边都是分开算的。
（教师板书：合着算，分开算。）
[评析：课始，教师带领学生在解决实际问题中，初步感知乘法分配律在生活中的原型。同时，利用数形结合来对算式进行阐释，使学生理解既可以合着算，又可以分开算，在多维角度中对得到的三组等式进行意义解读。然后，教师放手让学生通过观察、比较，逐步发现三组等式的共性特征。在全班交流中，教师引导学生提炼出原型的特征，加深对原型的本质认识。]
（二）在仿写建模中稳步表征规律
师通过横着和竖着观察和比较，我们发现了这些等式的特点。那是不是具有这些特点的两个算式都相等呢？
生我觉得都相等。
生我觉得不一定相等。
师到底谁的猜想是对的呢？我们需要进行验证，可以怎么验证？
生举更多的例子。
师拿出学习单，想一想、算一算，各自列出具有这些特点的一组算式。
（学生交流展示。）
生（3+8）×9=3×9+8×9。
生（12+30）×78=12×78+30×78。
师我们来看这两位同学的举例，符合我们发现的这些特点吗？等式成立吗？怎么证明成立的？有写到等式不成立的吗？
生没有。
师[板书：（7+0）×8=7×8+0×8]老师也写了一个。你们瞧，等式成立吗？
生等式成立。
师如果时间允许的话，我们还能再举更多的算式，举得完吗？
生举不完。
师那你能用一个等式表示出这个规律吗？
生（a+b）×c=a×c+b×c。
师用字母式将发现的规律表达了出来，很好！
[评析：在发现三组原型本质特征的基础上，教师引导学生猜想：是否具有这些特征的两个算式都相等？学生在尝试举例中，发现结果都相等。教师适时补充含0的一组算式，充分暴露学生理解的盲区，帮助学生形成更完整的认知。学生由之前学习运算律的经验，自然而然想到可以用字母式来表示乘法分配律。]
（三）在动态验证中内化规律
师其实啊，我们发现的这个规律早就潜伏在以前的学习中了！（出示下页图8、图9）一起看看。
师（出示图10）拼成的大长方形面积可以怎么求？
（学生分别介绍合着算和分开算两种方法，教师同步展示课件，最终画面如图11所示。）
师老师给这个长方形施个魔法，让它动起来。（在“几何画板”软件中演示，呈现图12-图14）使第一个数动起来，符合吗？
生符合。
师（在“几何画板”软件中演示，呈现图15-图17）第二个数变动，现在呢？（在“几何画板”软件中演示，呈现图18-图20）使宽变化，现在这两个算式相等吗？（在“几何画板”软件中演示，呈现下页图21-图23）使这三个数同时变化，算式相等吗？
生相等，求的都是大长方形的面积。
师在这里，第一个数可以是什么？第二个、第三个数呢？（出示图24）如果这三个数变成a、b、c，两个算式还相等吗？
生相等。
师（出示图25）这就是乘法分配率。
师（小结）不管这三个数怎么变，等式都成立。在求拼成后大长方形的面积时，这两种方法间的关系也符合我们发现的规律：（a+b）×c=a×c+b×c。
[评析：在学生用字母表征出乘法分配律之后，教师没有急着揭示概念，而是带领学生一起回忆，唤醒学生的旧知，与本节课学习的新知串联。这既是对之前碎片化学习的聚合，也是对新知的一种补充与验证。运用“几何画板”软件，在长方形面积的动态变化中，引导学生充分理解和思考，在几何直观中逐步抽象出乘法分配律。]
（四）在练习巩固中应用规律
师（出示练习，如下）请同学们完成如下练习。
1.填一填。
（1）（42+35）×2=42×□+35×□;
（2）15×26+15×14 = □○（□○□）;
（3）（30+x）×y=□○□○□○□。
2.判一判：下面的等式成立吗？
（1）（28+72）×7=28×7+72×7;
（2）40×25+4×25=40×（25+4）;
（3）74×（99+1）=74×99+1。
（学生完成后展示交流答案。）
师等号两边的算式不相等时，怎么改能使两边相等？如果让你计算，你会选等式的哪一边？为什么？
……
[评析：这里设计的练习，既尊重教材又超出教材，即对静态的习题进行动态的操作，提高练习的趣味性。第二题除了基于乘法分配律判断和改正等式，还引导学生思考规律的价值，为以后学习简便计算做铺垫。]
（五）在总结回顾中掌握探索规律的方法
师让我们一起来回顾一下今天的学习过程。我们是怎么一步一步概括出乘法分配律的？
生我们在解决实际问题中得到了三个等式，再通过观察、比较、猜想、验证，最终概括出乘法分配律。
师看来，大家都收获满满。（出示下页图26）瞧，运算律小火车也收获了新成员呢。今天，我们通过数形结合学习了乘法分配率。那如果再增加一个小长方形，大长方形面积是多少呢？合着算和分开算又会得到两个什么样的算式呢？它们之间又有什么关系呢？同学们可以运用今天研究乘法分配律的方法继续探究。
[评析：弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”课尾，教师及时指导学生回顾反思，帮助他们梳理学习过程，提炼规律发现的一般过程;并且带领学生整理已经学习的运算律，丰富知识网络，帮助学生形成整体思维。最后，教师抛出一个问题，鼓励学生利用今天的所学进行更深入的研究，培养学生的应用意识，帮助学生巩固学到的探索规律的方法。]
二、教学总评
（一）匹配问题情境的直观呈现
本节课，虽然需要对算式進行观察，但教师没有生硬地提供脱离实际意义的式子，而是创设了丰富的现实情境。无论购买运动服还是队形的排列，都是学生非常熟悉的生活情境，能够助力他们理解算式表示的实际意义，从而更好地认识和比较“合着算”和“分开算”。每一个问题情境，都有匹配的几何直观呈现，让学生在“形”中提升对“数”的认识。
（二）凸显数学本质的动态呈现
深度学习与浅层学习不同，是一种基于理解的学习，重在经历学习的过程。绝大部分学生通过计算，知道了“合着算”和“分开算”结果相等，两个算式可以用等号连接。而很少有学生会想到运用乘法的意义——几个几，来解释为什么相等。这种现象，也反映出之前的学习更关注结果而不是过程。于是，教师从情境图抽象到点子图，帮助学生在数一数的过程中感悟“合着算”和“分开算”背后的意义，丰富学生的多元表征经验。同时，利用“几何画板”软件，研究求大长方形面积的两种不同算法的关系。在动态呈现中，学生对乘法分配律的本质特征有了充分的直观感受，对“合着算”和“分开算”算式的结构特征与内在联系印刻入心。
（三）发展模型意识的层次呈现
学习从模仿开始。学生在解决“购买服装”“队形排列”问题的过程中，充分感知了乘法分配律的结构特征。紧接着，学生通过仔细观察、比较，逐步发现了这些算式的特点。教师在学生回答时相机框一框、画一画、圈一圈，使乘法分配律的表象跃然于黑板上，同时也清晰地投射在学生的头脑中。在这之后的仿写建模中，学生举出了很多例子来验证，教师还举例“（7+0）×8=7×8+0×8”这类等式，探讨其是否符合乘法分配律，直逼学生的认知盲区。学生经历富有层次的表征过程后，用语言、文字和符号归纳总结乘法分配律也就顺理成章，从而在内化运算规律的同时还有效发展了模型意识。
参考文献：
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