浅议数学课堂中的“交流与讨论”

石志群

摘要：作为体现新课程理念的重要课堂教学方式和环节，学生的交流与讨论经常被使用在当下的数学课堂中。交流是指彼此将自己拥有的信息提供给对方;讨论的意思是就某一问题或话题交换意见或进行辩论。“交流与讨论”的组织形式最好是6个不同学业水平层次的学生围坐一桌，形成一个自然的学习小组，并确定一个召集人，负责主持交流与讨论活动。促进策略有：以充分的自主思考为基础，以足够的时间为保证，让学生畅所欲言、学会倾听和询问，以及提供适当的素材、案例、示范等。内容设计要注意解决问题的关键步骤等，以及问题呈现或提出的方式等。

关键词：交流;讨论;合作学习;数学课堂

作为体现新课程理念的重要课堂教学方式和环节，学生的交流与讨论经常被使用在当下的数学课堂中，尤其是在一些公开课、示范课中。不过，在现实中，学生的交流与讨论存在较多的操作问题和认识误区。比如，某些教师刚提出问题就让学生交流、讨论，殊不知交流与讨论是基于一定的研究与思维成果的，包括研究与思维过程中的困惑、疑問、错误等;某些课堂上，学生也经常在交流，但交流的内容大多为思维的结果（结论），基本没有触及解决问题时真实的思维过程……本文试图对数学课堂中的“交流与讨论”谈谈个人粗浅的认识。

一、“交流与讨论”的内涵

这里所说的交流是信息互换的过程，即彼此将自己拥有的信息提供给对方;讨论的意思是就某一问题或话题交换意见或进行辩论。因此，交流与讨论的含义有共同的地方，就是“交换”;区别在于，交流可以是任何所知的信息，而讨论仅限于某个共同关心的问题或话题，同时，讨论不仅包括交换意见，还包括进行辩论。

就数学课堂而言，交流的信息可以是自己对相关内容所持的意见、看法，也可以是自己所知的相关知识、方法、模型等;讨论的内容既包括上述交流的内容，又包括对自己观点、想法的依据的阐述和对对方观点、想法的评价、质疑甚至驳斥。因为数学课堂上，为了促进学生数学思维的相互作用，就必须既交流意见与看法，又相互理解、辨别甚至评价对方的观点与想法，所以，数学课堂中的交流与讨论往往是混合进行的。因此，教师们经常将两者组合成一个词：交流讨论。

从目标上看，数学课堂中的交流与讨论，不仅是交换思维成果（问题解决的结果和过程、方法等），而且是通过互相借鉴、补充、启迪、帮助，促使参与的各方对教学内容的理解更深刻，思维更开阔，达到融合、综合、拓展、发展的效果。

从形式和内容上看，交流与讨论是合作学习的基本形式，包括陈述、展示各自的成果;理解、借鉴对方的结论、过程、方法;研究大家遇到的问题、困难，探索解决和克服的路径;对不同的观点进行辩论，整合、优化大家的成果;还可以讨论拓展或深化共同成果的可能性。

二、“交流与讨论”的组织形式

现行比较流行的做法是，将前后两排相邻四位学生并成一个小组，让前排两人转向后排两人，然后四人一起展开相关的交流与讨论。从效果上看，笔者认为，这种做法并不好。

从成员数量上看，笔者认为，每个小组6人左右比较合适。人太多，每个人发表看法的机会就少，且每个人想了解其他人的观点、想法就需要更多的时间，课堂效率就会降低。

从成员结构上看，笔者认为，每个小组应该由不同学业水平层次的学生组成，“优秀生”“中等生”和“后进生”的人数相当;此外，还要适当兼顾不同认知风格学生的搭配。这样，交流与讨论的过程中，就既有体现不同层级的思维水平、不同深度的理解水平、不同高度的认识水平的成果的共享与促进，又有不同思维风格的解决问题的方法的交叉与互动，从而充分发挥交流与讨论的帮扶、互补的作用。这也是前后两排相邻四人组合的主要缺陷所在：不同的学科采用相同的组合，而同一个学生在不同学科上的能力、水平不一定相同或相近，所以顾了某个学科，就不能兼顾其他学科。

基于上述认识，现在大部分学校所采用的6排8列型的学生座位排列方式是不合适的，它更适合讲授式教学。适合讨论式学习、合作学习等教学方法的学生座位排列方式是每6个人围一个大小合适的圆桌或正六边形桌而坐，形成一个自然的学习小组。不同学科的课上，学生依据不同的分组情况入座，座位不完全固定。

同时，每个小组需要确定一个召集人，负责主持交流与讨论活动，组织大家畅所欲言，表达观点，在此基础上汇总各种想法，归纳共同成果，梳理不同问题，引导大家研讨;并负责与教师沟通，与其他小组沟通。

此外，在学生交流与讨论期间，教师不能游离于学生之外，而应努力参与到其中：观察整体的情况，判断交流与讨论的进度与效果，把控教学时间;参与某些小组的活动，并对一些共性问题进行启发、引导。需要注意的是，教师也要尽可能减少对学生交流与讨论的干预，只在非常必要的情况下，对全体学生或某些小组的学生进行指导。

三、“交流与讨论”的促进策略

在教学过程中安排学生交流与讨论的初衷是达成更好的教学效果，也就是使学生理解更深刻、认识更到位、思路更开阔、成果更丰硕。为此，需要设法促进学生交流与讨论的全面与深入。下面是几种常用的策略，供参考。

应该在充分自主思考的基础上交流与讨论，带着成果交流，带着问题讨论，也就是有准备、有目的地交流与讨论。如，哪些内容可以与别人交流，哪些内容需要与别人讨论？要从对自己、对同学有价值，能促进大家提高的角度确定相关内容。再如，如何组织好准备交流与讨论的内容，以确保表述准确而简洁？要选用好语言文字、图形表格等表现形式，使表达更有条理和逻辑;要换位思考，想想这样表达别人能否理解。以“幂函数”第1课时（内容是幂函数的概念、图像和性质）的教学为例，在引导学生建构概念时，可以让学生充分考察几个具体的问题情境，发掘其中的函数关系，并研究这些函数具有怎样的共同特征，然后交流与讨论更多的函数与之前的函数是否具有相同的特征。这样可以使学生在交流与讨论中充分认识幂函数的本质特征。

交流与讨论需要时间，没有足够的时间就无法保证全面和深入。一节课时间有限，课堂效率很重要，这也是很多教师不愿意给足够的时间让学生自主思考的原因所在;特别是交流与讨论可能耗时更多，而且不易把控，很多教师也就更不愿意给足够的时间让学生交流完、讨论透。于是，很多课堂中的交流与讨论来也匆匆，去也匆匆，目的就是让听课的人知道教师让学生交流与讨论了。笔者认为，既然让学生交流、讨论了，就要让学生交流完、讨论透;否则，宁可不要。再以“幂函数”第1课时的教学为例，教师布置学生分别画出一些特殊的幂函数图像，并探究幂函数的性质后，给了学生充足的自主探索和交流、讨论时间。最后各组汇报研究成果时，除了发现了教材中的所有性质，还发现了一批新的性质，比如：幂函数的图像不会在第四象限。

要让所有的学生畅所欲言，特别要鼓励“后进生”勇敢地表现自己。不能将小组的交流与讨论变成小型的课堂讲授，让“优等生”把持话语权。召集人需要汇总所有成员的观点，并让每个成员表达其发现过程及推理依据。

要让学生学会倾听，在倾听过程中培养理解能力：不要总是急着表现自己，而要耐心听取别人的思维成果，充分理解别人的思维过程。在倾听与理解的同時，也要进行自我反思，将自己的思维过程、结果与他人的比较，从而促进对自己的思维过程、结果的更正和完善。

还要让学生学会询问、善于追问、勇于辩论（当然，要注意方式方法，最好以讨论、商榷的语气进行）。询问不清楚的地方，不要因为问题简单而羞于启齿，而要尽可能地在小组内解决能够解决的问题。追问可能存在缺陷（不够严谨、不一定正确等）的结论、方法，诘问其依据、理由。对有不同观点的问题，要及时表明自己的观点，批驳对方的观点，形成辩论的氛围。这样的交流与讨论是针对思维过程与策略的，是相互启发与补充的，是相互促进与提高的，真正体现了交流与讨论的价值。还以“幂函数”第1课时的教学为例，当α取不同的值时函数y=xα（x>0）的图像之间的上下关系是一个学习难点，而且，不少学生根本没有研究这一性质的意识。在交流与讨论中，有学生展示了这个性质，接着便有学生诘问：“你是怎么想到研究这个性质的？”被问的学生解释：“因为前面研究图像上升、下降的性质时我发现了，常数α不同，对应的幂函数y=xα不一样，图像也不同，单调性是对确定的α而言的，那么对于不同的α，它们的图像又有怎样的关系呢？”然后又有学生追问推理的依据……这样的交流与讨论是自然生成的，暴露了学生真实的思维过程，触及了数学问题的内在本质，促进了数学知识的深度理解。

在恰当的时机，教师可以向某个小组或全体学生提供一些素材、案例、示范，提出一些启发性的问题，从而引导交流与讨论的全面与深入;还可以向某个小组展示别的小组的讨论成果，促进小组之间的交流，或在了解讨论进展的情况下，让两个组之间进行交流，从而引导交流与讨论向纵深发展。仍以“幂函数”第1课时的教学为例，当一个小组展开对不同指数对应的幂函数图像关系的讨论时，教师及时向其他小组介绍了这个小组研究的问题和成果，引起其他小组的兴趣和思考。当有些学生理解困难时，教师建议学生在同一坐标系中通过描点法，尽量准确地作出函数y=x3、y=x2、y=x、y=x0、y=x-1、y=x-2在第一象限的图像，由此，学生根据所取特殊点的纵坐标的大小关系，自然地理解了上述性质为什么成立。最后，教师利用几何画板画出上述函数的图像，让学生进一步确认了结论的正确性。

此外，要注意处理好独立思考、探索与小组交流、讨论之间的关系，即：在交流与讨论的过程中，也要充分发挥个体的独立性与集体的互助性作用，让每个成员既表现出自己的特长与优势，又能从别人那里学习到自己所欠缺的东西，完善认知结构。

四、“交流与讨论”的内容设计

在课堂教学中设计交流与讨论活动，首先要明确哪些内容需要交流与讨论，其目标是什么。从内容上看，主要是解决问题的关键步骤（程序）、教学的难点与学生可能的疑点、核心内容的学习成果等。

以解决问题的关键步骤（程序）为例，可以根据三层次解题理论，提出以下三个层次的问题，让学生在独立思考的基础上开展小组交流与讨论。（1）解决问题有怎样的思路？即明确解决问题的大体过程，概略性或一般性解决问题。（2）实现思路有哪些基本途径？即明确解题所用的基本方法，功能性解决问题。（3）完成途径有哪些具体手段？即明确解题所用的具体技巧，特殊性解决问题。如对于平面解析几何中点到直线距离公式的推导，这三个问题分别是：（1）求点到直线的距离通常的思路有哪些？（转化为两点之间的距离）;（2）如何将点到直线的距离转化为两点之间的距离？（代数的角度、几何的角度或向量的角度）;（3）在上述三个角度下，如何求出直线上的那个点？（求另一个点的具体操作程序）。这样使得对每个问题的交流与讨论都可以相互借鉴，在借鉴的基础上对想法的可行性、合理性进行评价，既提高效率，又开拓思路，更明晰逻辑关系，达到既“知其然”，又“知其所以然”，还“知其何以所以然”的效果。

从交流与讨论的问题的呈现或提出方式上看，要根据教学内容的特点，进行思维过程的分析，预测学生可能的观点、想法、困难、错误等，从而灵活选择。例如，教学“基本不等式及其应用”时，为了促使学生理解用基本不等式求最值时特别要注意“等号成立”是必要条件，就要专门设计这样的“反例”（比如，求函数y=x2+2+1x2+2的最小值），让部分甚至全体学生出错，从而形成需要交流与讨论的问题。

常见的方式有：直接法，即直接给出需要交流与讨论的问题;对比法，即让学生交流已有成果，形成矛盾冲突，提出需要讨论的问题;发现法，即将（某些）学生或资料、教材上解决某个问题的过程呈现给（全体）学生，让学生讨论发现了什么问题，原因是什么，等等;提炼法，即提炼（某些）学生解决问题的过程，得出其核心观点，并将其核心观点呈现给（全体）学生分析、评价……

当然，为了提高效率，还要根据教学内容的特点，对预设的交流与讨论内容，对学生的交流与讨论活动，提出明确、具体的要求，包括小组成员的角色分工、交流与讨论要达成的目标等。要事先预测各种可能的情况，并设计相应的启发性问题、追加的问题或回溯的内容，且设定评价意见。例如，对于“求过圆外一点与已知圆相切的直线方程”的问题，需要预见到学生求解时容易忽视与x轴垂直的切线，因此，就要事先设计好启发学生思考和引导学生讨论的问题。比如：这个点与圆的位置关系怎样？既然这样，那么上面的解答正确吗？……

此外，课堂教学中可能会意外生成一些需要交流或讨论的内容（问题），这需要在教学过程中敏锐发现、灵活处置。这里就不赘述了。

最后值得一提的是，实践证明，运用得当的“交流与讨论”（甚至在此基础上形成良好的小组合作教学模式，比如从自主学习到小组交流再到全班讨论）已经让很多学生基础一般的学校或教师取得了超出预期的教学成效。

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