CPFS结构理论指导下的概念教学

姜鸿雁

摘要

CPFS结构是由概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构，是个体头脑中内化的数学知识网络，是特有的认知结构。教师从促进个体表达CPFS结构的愿景出发，从知识网络角度进行概念教学设计，实施助力个体设计CPFS结构的教学过程，有利于个体在整体中认识概念，逐步落实数学抽象这一关键能力，提升探究问题的能力，从而建构出比较“丰满”的CPFS结构，彰显思维的灵活性和深刻性。

关键词

CPFS结构 数学概念 整体性 数学抽象 探究能力

CPFS结构是2003年喻平教授在数学知识分类、数学知识表征的基础上提出的原创性理论。笔者在学习该理论及相关系列成果之后，结合自身的思考，大胆实践，现以一节“二次函数”概念课为例，将备课时的思考、教学设计、课后反思及学生的反馈与同仁分享，期待批评指正。

一、CPFS结构理论及理论指导下的备课思考

1.CPFS结构的含义。

概念域（concept field）、概念系（concept system）、命题域（proposition field）、命题系（proposition system）构成的结构被称为CPFS结构。CPFS结构的含义包含：（1）个体头脑中内化的数学知识网络，各知识点（概念、命题）在这个网络中处于一定的位置，知识点之间具有等值抽象关系，或强抽象关系，或弱抽象关系，或广义抽象关系;（2）正是由于网络中知识点之间具有某种抽象关系，而这些抽象关系本身就蕴藏着思维方法，因而网络中各知识点之间的联结包含着数学方法，即“连线集”为一个“方法系统”;（3）数学学习中特有的认知结构，是个体头脑中内化的、合乎数学逻辑特征的知识结构。

在《数学学习心理的CPFS结构理论》一文中，喻平教授以“等差数列”和“距离”两个概念为例，说明了数学概念的3个特征：（1）对同一个概念，可以从不同的侧面或选择不同的角度去刻画，即可以采用彼此等价的一组定义去描述同一个概念;（2）概念具有发展性，在不同背景下可以赋予一个概念新的意义;（3）数学概念不是孤立的，定义一个新概念往往要用到诸多的旧概念，概念之间存在弱抽象、强抽象或广义抽象的关系。

2.理论指导下的备课思考。

笔者认为，二次函数概念是由函数概念经过强抽象而来。其概念的定义方式是形式化定义的表述方法，也就是“形式+条件”的范式，这与一次函数、反比例函数、一元二次方程等概念的定义表述方法一样;其抽象形成概念的过程的学法也与一次函数等概念一样，即在大量的生活情境中抽象出数量关系，再对数量关系进行二次抽象，形成形式化的定义形式。本节内容是“二次函数”全章的章首课，对全章的学习起着统领作用，学习的路径与一次函数等知识的学法一样，所以本节课的教学要为“概念的发展性”埋下伏笔，在研究方法上要体现CPFS结构中的“连线集”的“方法系统”。

基于以上分析，考虑到学生已经具备了“一次函数与一元一次方程之间的关系”的学习经验，且对一元二次方程的相关知识非常熟悉，所以在情境引入时，既要有生活情境，又要有数学情境，还要体现新知学习的自然性。最终，笔者思考形成了二次函数概念教学的知识、方法的网络结构图（如图1），教学的设计流程也是根据这个结构图进行，期待通过本节课的教学活动，学生能在头脑中形成类似的结构图，从而实现培育学生的CPFS结构的目标。

二、教学设计主要流程及意图

1.概念的源起。

问题1 看到3x+2=0，你想到什么？你能结合一次函数y=3x+2，从不同的角度解释方程解的意义吗？

【设计意图】问题起点很低。预设学生会说“3x+2=0”是一元一次方程，并很容易解出方程的解;追问的目的在于通过一元一次方程与一次函数之间的关系，讓学生分别从“数”和“形”的角度“解读”一元一次方程的解，为下面研究一元二次方程与二次函数之间的关系做好方法上的唤醒。

问题2 看到x2-2x-3=0，你能类比前面一元一次方程与一次函数之间的关系，猜想它的解的“几何意义”吗？

【设计意图】一元二次方程的定义及解法都是学生熟悉的知识。通过类比，学生大胆猜想x2-2x-3=0与y=x2-2x-3的关系，从而引出新事物：y=x2-2x-3是函数吗？为什么？是一次函数吗？是什么呢？在生活中有类似的数量关系吗？……一系列的相关概念在问题的驱动之下“浮出水面”。

2.概念的素材。

问题3 小明的妈妈想用50m长的护栏围成一个矩形花圃，她要思考哪些问题呢？

【设计意图】预设学生容易想到“妈妈想要花圃面积最大，应该怎么围？”。在“想要面积最大”这一愿景之下，学生可以将学习一元二次方程那一章时学到的内容、积累的方法进行迁移。因为问题开放，所以为生成多种多样的围花圃的方案提供了可能。比如最一般的围法、一面靠墙围、两边靠墙围、留一道1米宽的门、中间隔一道分界线把花圃隔成两部分……这是本节课的第一次抽象思维的落实，将生活中的实际问题转化成数学问题。每一种围法，都可以出现一个与之相应的数量关系式，这些都是进一步抽象生成二次函数概念的形式化定义素材。

3.概念的生成。

问题4 仔细观察同学们列出来的这些数量关系式和刚开始的y=x2-2x-3，你有没有发现它们的共性？你能描述这种共性吗？

【设计意图】透过现象看本质，提炼并表示规律是数学学科的特色。学生在观察共性的过程中去除研究对象中非本质的因子，在表达共性的过程中将抽象的思维过程“物化”，形成新概念的形式化定义，数学抽象这一关键能力得以落实。

4.概念的辨析。

例1 下列函数：S=πr2，y=6-3x2，y=[1x2]+2x-3，y=（a2+1）x2+bx（a、b为常数），变量之间是不是二次函数关系？如果是，分别说出二次项系数、一次项系数、常数项的值;如果不是，说明理由。

小游戏：你说出一个函数关系，让同伴判断是不是二次函数。

例2 已知在y=（m-3）x[m2-3m+2]+mx+1中，变量y是变量x的二次函数，求常数m的值。

【设计意图】在师生互动、生生互动的数学活动中辨析概念，加深对概念的内涵、外延的理解。

5.概念的展望。

问题5 以函数关系y=-x2+25x为例，妈妈的愿望怎么实现呢？用哪些数学方法可以解决呢？

问题6 回顾x2-2x-3=0与y=x2-2x-3的关系，结合一次函数的学习经验，你期待进一步学习什么内容？

【设计意图】问题5既是对生活情境中的问题——“妈妈的心愿”的回应，预设学生能用配方法解决问题，在追问有没有其他方法的过程中，与问题6相结合，对二次函数图像的学习、二次函数的应用提出展望，以实现单元整体的概貌，为进一步学习后续内容埋下伏笔。

三、教学感悟

1.促进个体表达CPFS结构的教学愿景，有利于整体认识概念。

“数学概念是数学思维的最小单位，是组成数学判断和数学推理的基本单元，是进一步认识事物的逻辑基础。”罗增儒教授的这句话说明了数学概念学习的重要性。数学概念不是孤立存在的，每一个概念的生成都有它的前世、今生与未来。从CPFS结构视角审视一个概念，有利于从整体角度认识它，理清该概念在概念域、概念系中的位置，从宏观的角度把握，避免“盲人摸象”。

从“概念域”角度看，二次函数的概念除了本节课的形式化定义外，还有开口向上或向下的抛物线，两者分别是从“数”和“形”的角度刻画二次函数。随着学习的深入，学生在进入高中后，还可以从到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹等角度再次刻画抛物线（二次函数），有些地区的中考题还曾经考查过。带着这些认识，笔者以“妈妈的心愿如何实现”为抓手，兼顾学生已有的认知→配方法解决问题和未来的学习走向→二次函数图像，从整体的角度设计二次函数概念的教学。

从“概念系”角度看，与二次函数有关的概念有函数、一次函数、一元一次方程、一元二次方程，笔者通过“看到3x+2=0，你想到什么？”引入，在入口很低的问题中把学生逐步带进新知的学习殿堂，不仅体现了概念之间的关联，而且实现了“方法系统“的迁移，体现一脉相承、一以贯之的学法整体概貌，有利于学生在头脑中内化合乎数学逻辑特征的知识结构，减轻学生的学习负担，提高学习效率。

2.助力个体设计CPFS结构的教学过程，有利于落实数学抽象。

数学概念是人们对事物本质的认识，它注定了是一个形式化、符号化的抽象物。概念的学习必然伴随着数学抽象的思维过程。

从“概念系”角度看，二次函数概念是函数概念强抽象的产物，学习二次函数的过程有利于加深对函数概念的认识。另外，二次函数概念的形成过程及学习方法与一次函数高度一致，即从大量的生活情境中抽象出数量关系（这是从生活到数学的抽象过程），再从众多的数量关系中进一步抽象，从而形成y=kx+b（k、b为常数，k≠0）这一形式化的定义（这是数学内部的抽象过程），不同的是，二次函数的最终形式化结果是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），而且理解概念的内涵与外延也是高度一致。因此，二次函数概念教学的过程，完全可以通过一个适当的问题情境，让学生与学习一次函数概念一样，经历两次抽象的过程，让数学抽象这一关键能力落到实处。

在课堂上，学生将解决一元二次方程的问题背景成功迁移到“妈妈围花圃”的问题情境中。在开放的问题情境下，学生思维活跃，精彩的生成让人兴奋。方案一：“最一般地围”，设一边长为xm，花圃面积为ym2，则有y=-x2+25x;方案二：如果一边靠墙围，设垂直于墙的一边长为xm，花圃面积为ym2，则有y=-2x2+50x（在此笔者追加了墙的长度，为后面的自变量取值范围做好铺垫）;方案三：如果一边靠墙围，且平行于墙的一边留一道1m宽的门，设垂直于墙的一边长为xm，花圃面积为ym2，则有y=-2x2+51x;若两边靠墙围;若中间加一道隔离，将花圃分成两部分……這是一个将学习一元二次方程的经验迁移并梳理的过程，这是从生活情境到数学内部抽象的过程，也是为进一步抽象生成二次函数概念提供素材的过程。有一次函数概念学习的经验，结合开场白的数学情境——一元一次方程与一次函数关系的唤醒及一元二次方程与二次函数的畅想，生成二次函数概念的形式化定义也就水到渠成。

3.落实个体建构CPFS结构的教学目的，有利于提升探究能力。

在数学学习中，学生对问题的探究包括：（1）提出问题，即根据一定的线索提出问题（提出问题可分定向提出和非定向提出）;（2）探究性质，即根据自己或他人提出的问题去探究问题的性质。个体探究问题的能力包括提出问题的能力和探究问题的能力。《个体CPFS结构与探究问题能力的关系研究》一文的研究结果表明，学生的CPFS结构与提出问题和逻辑探究问题的能力联系紧密。学生的CPFS结构中，联结各知识点的连线揭示了知识之间的关系，本身蕴含着数学方法的信息，这有助于学生去探究问题。学生能在CPFS结构中受到“方法系统”的启示，并将其迁移到新问题的提出和解决之中。

正如前面从“概念系”角度分析二次函数概念，它与一次函数、一元二次方程等概念关系紧密，所以在“概念辨析”环节，例1交流结束后，笔者安排了一个“生生互动”的小游戏：你说出一个函数关系，让同伴判断是不是二次函数。来自学生的函数关系有：y=[-x22]+50、y=-[12x2]+50、y=-（x-1）（x+2）+x2……具有一定的干扰性和挑战性。更值得一提的是，在学生完成例2后，笔者设计了提出问题的环节：根据学过的函数概念知识，请你对本题作适当改编，提出一个与函数概念有关的问题，看谁提的问题思维含量高。从学生众多的问题中，笔者挑选两个与同仁分享。1.已知在y=（m-3）x[|m2-3m+2|]+mx+1中，变量y是变量x的二次函数，求常数m的值。2.已知在y=（m-3）x[m2-3m+2]+mx+1中，变量y是变量x的一次函数，求常数m的值。问题1中绝对值符号的引入，加深了对一元二次方程解法的认识;对于问题2，犹如一石激起千层浪，学生在解决问题的过程中，众说纷纭，精彩纷呈，在激烈的思维碰撞中，理清分类标准，最终解决问题，同时概念域中的相关概念比如一次函数，甚至“相距有点远”的概念——零指数幂，也得到了巩固与加深。

教师从知识网络角度设计教学内容，则自然地将一个概念放在了宏观的数学概念体系中，这种理念必然影响着教学设计的走向，有助于学生建构自己的CPFS结构，提升探究问题的能力;反过来，学生在探究问题的过程中，能够提升CPFS结构自我建构的能力，从而达到建构CPFS结构与探究问题的能力相辅相成、相得益彰的目的。从本节课笔者设计的让学生提出两个定向性问题并解决问题的教学环节可以窥见一斑。

四、学生的反馈

课后，在笔者布置的每周一次数学小论文作业中，有一部分学生能够较好地勾勒出二次函数全章知识结构图。下面选择其中一名学生的“成果”与同仁分享（如圖2）。

该学生的“成果”虽然不算完美，比如在数学内部的应用部分，他没有考虑到如下一些内容：与二次函数有关的图形面积计算、建立二次函数模型求与几何图形有关的最值问题等。但通过这幅“知识结构图”，我们可以看到他能够较好地将学习一次函数概念的方法、策略迁移到二次函数概念学习中，能够自主地内化外部的知识结构，将其贮存在自己的头脑中，建构比较“丰满”的CPFS结构。透过这一CPFS结构，可以彰显该学生的思维具有一定的灵活性和深刻性。

用科学的理论支撑课堂教学、反思课堂教学，是减轻学生学习负担，提高学生学习效率的保障。笔者将在CPFS结构理论的引领之下，继续大胆实践，提高自身的教学能力，更好地服务学生。

（作者单位：江苏省无锡市河埒中学）

本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“初中数学概念教学中培养学生数学抽象的能力的实践研究”（课题批准号：D/2020/02/285）阶段性研究成果。

【参考文献】

[1]喻平，单墫. 数学学习心理的CPFS结构理论[J]. 数学教育学报，2003（1）.

[2] 喻平，李渺，杨义莹. 个体CPFS结构与探究问题能力的关系研究[J]. 数学教育学报，2006（3）.

[3] 陆珺. 个体CPFS结构与概念构图能力的相关性研究[J]. 数学教育学报，2011（4）.

[4] 徐利治，张鸿庆. 数学抽象度概念与抽象度分析法[J]. 数学研究与评论，1985（2）.

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